Traccia in matrici simili
salve a tutti, vorrei un parere motivato: secondo voi, volendo dimostrare che due matrici simili hanno la stessa traccia, è giusto partire dal fatto che due matrici simili hanno gli stessi autovalori? Sappiamo che $ <λ è AUTOVALORE DI A > hArr $ e facendo A-λI i λ saranno lungo la diagonale principale. Per cui date due matrici A e B, esse sono simili in primis se hanno gli stessi autovalori, ma avendo gli stessi autovalori avranno anche la stessa traccia visto che essa è la somma dei λ autovalori lungo la diagonale principale.
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
E' più diretto far vedere che [tex]\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)[/tex]... Poi ovviamente due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi, in particolare, la stessa traccia!
grazie!!!però non mi è chiara una cosa...come faccio a dimostrare che $ tr(AB) = tr(BA) $
o meglio che relazione c'è tra il fatto che $ tr(AB) = tr(BA) $ e che la $ tr A = tr B $ ???
o meglio che relazione c'è tra il fatto che $ tr(AB) = tr(BA) $ e che la $ tr A = tr B $ ???
Beh, sono due domande diverse. Per quanto riguarda la seconda basta fare così: [tex]\text{tr}(MAM^{-1}) = \text{tr}(AMM^{-1}) = \text{tr}(AI) = \text{tr}(A)[/tex]. Per quanto riguarda la prima, potresti provare a scrivere esplicitamente gli elementi sulla diagonale nei due casi....
prima che leggessi la risposta..per quanto riguarda $ tr(AB) = tr( BA) $ ho fatto come dicevi tu, ovvero esplicitando...per quanto può funzionare perchè si arriva ad una uguaglianza 0=0, mi sembrava un po' banale ai fini di dimostrare che trA= trB....dato che la moltiplicazione è commutativa 
Scusa per il doppio post, la connessione a volte fa le bizze...
Ma aspetta un momento
Che cosa vuol dire tutto ciò? E a che moltiplicazione ti stai riferendo?
Ma aspetta un momento
"daphne":
per quanto può funzionare perchè si arriva ad una uguaglianza 0=0, mi sembrava un po' banale ai fini di dimostrare che trA= trB....dato che la moltiplicazione è commutativa
Che cosa vuol dire tutto ciò? E a che moltiplicazione ti stai riferendo?
mi riferivo ad AB e BA!!!FARE AB o BA...mi sembra ovvio che dia lo stesso risultato
Non mi sembra poi così ovvio. La moltiplicazione tra matrici non è commutativa.
Potresti postare i tuoi calcoli?
Potresti postare i tuoi calcoli?
No, infatti non lo è! In gran parte questo è dovuto al fatto che è falso:
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)[/tex]
Altrimenti l'algebra lineare sarebbe moooolto più noiosa di quello che è!
(ogni matrice sarebbe simile solo a se stessa, tanto per iniziare; niente diagonalizzazione, niente forma canonica di Jordan, niente di niente, insomma!)
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)[/tex]
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 5 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right)[/tex]
Altrimenti l'algebra lineare sarebbe moooolto più noiosa di quello che è!
(ogni matrice sarebbe simile solo a se stessa, tanto per iniziare; niente diagonalizzazione, niente forma canonica di Jordan, niente di niente, insomma!)
Per quanto riguarda la dimostrazione di [tex]$\text{tr} AB=\text{tr} BA$[/tex] basta invertire due sommatorie: infatti se [tex]$A=(a_i^j)$[/tex], [tex]$B=(b_i^j)$[/tex], [tex]$AB=(c_i^j)$[/tex], [tex]$BA=(d_i^j)$[/tex] si ha [tex]c_i^j =\sum_{k=1}^n a_i^kb_k^j[/tex] e [tex]d_i^j=\sum_{k=1}^n b_i^ka_k^j[/tex] ergo:
[tex]$\text{tr} AB= \sum_{i=1}^n c_i^i =\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_i^kb_k^i $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_k^i a_i^k $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^n d_k^k=\text{tr} BA$[/tex].
[tex]$\text{tr} AB= \sum_{i=1}^n c_i^i =\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_i^kb_k^i $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_k^i a_i^k $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=1}^n d_k^k=\text{tr} BA$[/tex].
hai perfettamente ragione..scusa per l'abbaglio..ti chiedo cortesemente di dirmi se secondo te questa valutazione funziona:
tr (B^-1 (AB) )= tr ((AB)B^-1)= tr (AI)= trA
faccio la stessa cosa con B: tr ((BA)A^-1)= trB
dunque io devo dimostrare che (AB) B^-1= (BA)A^-1 poi posso lavorare su questo?[/img]
tr (B^-1 (AB) )= tr ((AB)B^-1)= tr (AI)= trA
faccio la stessa cosa con B: tr ((BA)A^-1)= trB
dunque io devo dimostrare che (AB) B^-1= (BA)A^-1 poi posso lavorare su questo?[/img]
No...
Ma ti ho già scritto io come si fa! Perché vuoi trovare un altro procedimento?
Allora: siano [tex]A,B[/tex] due matrici simili. Questo significa che esiste una matrice invertibile [tex]M[/tex] tale che (ad esempio) [tex]B = M A M^{-1}[/tex]. La nostra tesi è che [tex]\text{tr}(A) = \text{tr}(B)[/tex]. Ora [tex]\text{tr}(B) = \text{tr}(M A M^{-1})[/tex]; chiama [tex]C = M A[/tex] e usa il risultato che ha appena provato Gugo: [tex]\text{tr}(B) = \text{tr}(CM^{-1}) = \text{tr}(M^{-1} C) = \text{tr}(M^{-1}(MA)) = \text{tr}(I A) = \text{tr}(A)[/tex].
Ma ti ho già scritto io come si fa! Perché vuoi trovare un altro procedimento?
Allora: siano [tex]A,B[/tex] due matrici simili. Questo significa che esiste una matrice invertibile [tex]M[/tex] tale che (ad esempio) [tex]B = M A M^{-1}[/tex]. La nostra tesi è che [tex]\text{tr}(A) = \text{tr}(B)[/tex]. Ora [tex]\text{tr}(B) = \text{tr}(M A M^{-1})[/tex]; chiama [tex]C = M A[/tex] e usa il risultato che ha appena provato Gugo: [tex]\text{tr}(B) = \text{tr}(CM^{-1}) = \text{tr}(M^{-1} C) = \text{tr}(M^{-1}(MA)) = \text{tr}(I A) = \text{tr}(A)[/tex].
vi ringrazio per il confronto costruttivo e per la disponibilità.... 
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