Endomorfismi diagonalizzabili e autovettori

[Sk_Anonymous]

Nel mio testo sta scritto che dato un endomorfismo diagonalizzabile [tex]f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex], lo spazio [tex]\mathbb{R}^n[/tex] è somma diretta dei suoi autospazi, ovvero [tex]\mathbb{R}^n = \bigoplus_{i=1}^r E_{\lambda_{i}}(f)[/tex], dove [tex]E_{\lambda_{i}}(f)[/tex] è ovviamente l'autospazio associato all'autovalore [tex]\lambda_{i}[/tex]

Dato che sul mio libro questa cosa non viene giustificata, la volevo dimostrare io per capirla meglio.
Io avevo pensato:

Sia [tex]v[/tex] un generico vettore tale che [tex]v \in \mathbb{R}^n[/tex]. Se [tex]\mathbb{R}^n[/tex] coincide esattamente con la somma diretta degli autospazi di f, allora [tex]v[/tex] deve appartenere a uno e uno solo autospazio (se non dovesse appartenere a nessun autospazio, la somma degli autospazi sarebbe un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]) . Ma quindi [tex]v[/tex] è un autovettore, ovvero esiste un numero [tex]\lambda \in \mathbb{R}^n[/tex] tale che [tex]f(v) = \lambda v[/tex].

Se dimostriamo quest'ultima affermazione, abbiamo dimostrato anche l'affermazione precedente e il fatto che qualsiasi vettore del dominio è un autovettore (non sono sicuro di questa cosa comunque). Indichiamo i vettori in grassetto. Quindi:

Sia [tex]B=\{ \textbf{b}_1, \textbf{b}_2, ..., \textbf{b}_n \}[/tex] una base di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Se [tex]f[/tex] è diagonalizzabile possiamo sempre assumere che [tex]B[/tex] sia una base di autovettori (infatti se f è diagonalizzabile esiste una base di autovettori). Ma allora l'immagine di [tex]v[/tex] può essere scritta (sfruttando la linearità di f) come

[tex]f(v) = f( \sum_{i=1}^n a_i \textbf{b}_i ) = f( a_1 \textbf{b}_1 + ... + a_n \textbf{b}_n ) = a_1 f(\textbf{b}_1) + ... + a_n f(\textbf{b}_n) =[/tex]

Se i vettori della base sono autovettori (ovviamente indipendenti, quindi gli sono associati autovalori distinti) possiamo scrivere

[tex]= a_1 \lambda_{1} \textbf{b}_1 + ... + a_n \lambda_{n} \textbf{b}_n[/tex]

E adesso come proseguire? Dalla precedente dovrei ottenere qualcosa del tipo [tex]= \lambda v[/tex] per dimostrare che v è un autovettore. E ci riuscirei dato che i coefficenti [tex]a_1, ..., a_n[/tex] sono i coefficenti che permettono di esprimere [tex]v[/tex] come combinazione lineare dei vettori della base, i vettori della base ci sono ma il problema è che quegli autovalori sono tutti diversi, quindi non posso raccoglierli...

[Sk_Anonymous]

Ho l'impressione che tu la stia complicando. Io utilizzerei il fatto che esiste una base di autovettori e che autospazi associati ad autovalori diversi possono avere al più il vettore nullo in comune.

[Sk_Anonymous]

Non credo di aver capito appieno. Cioè prendo i vettori della base (che sono indipendenti tra di loro) e poi? So che autovettori associati ad autovalori distinti sono indipendenti. E' vero anche il contrario? Io non trovo nessuna contraddizione nell'associare ad autovettori indipendenti lo stesso autovalore....

Quindi non è vero che in un endomorfismo diagonalizzabile ogni vettore del dominio è un autovettore? Eppure per quanto scritto sopra dovrebbe esserlo, perchè deve appartenere ad uno e uno solo autospazio...

[Sk_Anonymous]

Che ogni vettore del dominio non possa essere autovettore è pacifico. Altrimenti l'endomorfismo sarebbe rappresentato dall'unico autovalore moltiplicato per la matrice identità. Quello che intendevo dire è che, quando si studia la somma diretta, mi sembra di ricordare esista un teorema che afferma ciò che segue: se ho un insieme di sottospazi la cui somma delle dimensioni è uguale alla dimensione dello spazio e la cui intersezione a due a due è al più il vettore nullo, allora lo spazio è somma diretta degli autospazi. In questo modo ciò che devi dimostrare si ricondurrebbe a questo teorema, se poi sei interessato alla dimostrazione anche di quest'ultimo, allora di maniche è un altro paio.

[Sk_Anonymous]

umm ... andrò a cercare questo teorema sul mio libro anche se non credo proprio che ci sia .....

Per quanto riguarda la seconda affermazione, intendevo direche ogni vettore del dominio è un autovettore ma non necessariamente tutti i vettori del dominio sono autovettori rispetto allo stesso autovalore. Cioè secondo me ogni vettore del dominio dovrebbe essere autovettore, che poi due vettori qualsiasi abbiano lo stesso autovalore non è detto.
Questo deriva dal fatto che se il dominio è [tex]R^n[/tex] e coincide con la somma diretta dei sottospazi, allora un vettore di [tex]R^n[/tex] deve appartenere ad un autospazio. Infatti se così non fosse [tex]R^n[/tex] sarebbe "più grande" della somma degli autospazi, mentre se appartiene a più autospazi la somma non sarebbe più diretta. Quindi se un generico vettore appartiene necessariamente ad un autospazio allora è un autovettore .... sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Certo che sbagli. Forse hai dimenticato il significato di somma diretta. Supponi di avere tre autovalori distinti in uno spazio tridimensionale, ma potresti anche farne a meno, allora hai tre autospazi unidimensionali, in pratica tre rette uscenti dall'origine. Ogni vettore dello spazio tridimensionale è combinazione lineare di tre autovettori, ma gli autovettori sono solo quelli che stanno su quelle tre rette uscenti dall'origine. Tutti gli altri non sono autovettori. A meno che tu abbia un solo autovalore associato ad un autospazio tridimensionale, nel qual caso torniamo al discorso di prima.