Prodotto di applicazioni lineari

[Laua1]

Salve a tutti!
studiando per l'esame di geometria mi sono imbattuta in questa dimostrazione teorica e non ho capito bene come impostarla... il testo recita:

siano L e T due operatori lineari dello spazio in n dimensioni (R^n) e supponiamo che sia L che T abbiano n autovalori distinti. Dimostrare che L°T=T°L se e solo se L e T hanno gli stessi autovettori.


Io ho pensato che siccome autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, e siccome gli autovettori devono essere gli stessi per le due applicazioni lineari, essi formano una base per L e T. Quindi ho pensato di scrivere le matrici associate alle due applicazioni come matrici contenenti in colonna i vettori trasformati di tale base, ossia gli autovettori (ognuno moltiplicato per l'autovalore ad esso associato, e ponendo gli autovalori associati ad ogni autovettore diversi nelle due differenti matrici) e di fare il prodotto riga per colonna in entrambi gli ordini (L°T e T°L). Però i risultati non erano gli stessi (cambiavano i prodotti degli autovalori) e quindi non sono riuscita a dimostrare nulla. Spero di essere riuscita a spiegarvi il mio problema

[Sk_Anonymous]

Se rappresenti le due trasformazioni lineari rispetto alla base di autovettori comune, hai due matrici diagonali.
Il prodotto di 2 matrici diagonali è commutativo.

[Laua1]

speculor hai perfettamente ragione!! come ho fatto a non pensarci? grazie dell'illuminazione comunque!!

[dissonance]

Però adesso devi dimostrare l'altra implicazione. A occhio mi sembra un po' più difficile.

[Laua1]

per dimostrare il contrario, ossia che se L°T=T°L allora T ed L devono avere gli stessi autovettori, pensavo dire che, essendo x un autovettore comune a T e ad L, posso scrivere che, siccome:
Lx= qx
e Tx=wx
dove q e w sono i due autovalori associati all'autovettore x rispettivamente nelle trasformazioni lineari L e T, si ha che:
TLx=T(Lx)=Tqx=qTx poichè le trasformazioni lineari sono bilineari, ma
qTx=qwx.
allo stesso modo:
LTx=L(Tx)=Lwx=wLx=wqx.
si ha quindi che wqx=qwx e, di conseguenza, che TLx=LTx
ma ovviamente ciò è verificato se e solo se le due applicazioni lineari hanno lo stesso autovettore. Secondo voi è corretto??

[ZeroMemory]

Sia v autovettore di T relativo a k:

LT = TL => LT(v) = TL(v) => L(T(v)) = T(L(v)) => L(kv) = T(L(v)) => kL(v) = T(L(v)) questo ci dice che T manda il vettore L(v) in kL(v), cioè L(v) è autovettore per T relativo all'autovalore k, dunque L(v) è un multiplo di v (l'autospazio di T relativo a k ha dimensione 1, dunque è della forma ), perciò v è autovettore anche per L (non sappiamo rispetto a quale autovalore...).

Laua, praticamente hai ridimostrato che se L e T hanno gli stessi autovettori allora commutano! Bada bene che è giusto mettersi sotto le condizioni della tesi e vedere cosa ciò implica, spesso dà indizi utili per trovare la dimostrazione, però in questo caso non siamo arrivati a niente di nuovo