Trovare una retta parallela alla retta data
Fissato nello spazio un riferimento metrico $Oxyz$ siano assegnati il punto $P(1,-2,-1)$ e la retta $r: { x - y - 1 = 0 , x+z-2=0
Si determinino le equazioni della retta $s$ passante per $P$ e parallela a $r$
Allora, io ho trovato i parametri direttori di $r$ e cioè $(1,1,1)$
ho dedotto che essendo le due rette parallele, i parametri direttori di $s$ cioè $(l,m,n)$ saranno proporzionali a quelli di $r$ e allora $ l = m = n $
ho imposto l'appartenenza di $P$ a $s$ e ho ottenuto
$l(x+y+z+2) = 0
ecco, a questo punto vorrei capire, quella che ho appena trovato è l'equazione di un piano contenente $s$ ?
Devo trovare un altro piano che la contenga, visto che la retta viene sempre espressa come l'intersezione di due piani? Come posso procedere? E' giusto quello che ho fatto fin'ora?
Grazie
Si determinino le equazioni della retta $s$ passante per $P$ e parallela a $r$
Allora, io ho trovato i parametri direttori di $r$ e cioè $(1,1,1)$
ho dedotto che essendo le due rette parallele, i parametri direttori di $s$ cioè $(l,m,n)$ saranno proporzionali a quelli di $r$ e allora $ l = m = n $
ho imposto l'appartenenza di $P$ a $s$ e ho ottenuto
$l(x+y+z+2) = 0
ecco, a questo punto vorrei capire, quella che ho appena trovato è l'equazione di un piano contenente $s$ ?
Devo trovare un altro piano che la contenga, visto che la retta viene sempre espressa come l'intersezione di due piani? Come posso procedere? E' giusto quello che ho fatto fin'ora?
Grazie
Risposte
Se due rette sono parallele, allora hanno i vettori direttori paralleli. Il vettore direttore di $r$ è $V_r(-1,-1,1)$. Quindi, la retta che cerchi dovrà avere un vettore direttore che sia "multiplo" di $(-1,-1,1)$.
Posso quindi pensare la retta cercata come $s:\{(x=1+2lambda),(y=-2+2lambda),(z=-1-2lambda):}$
Posso quindi pensare la retta cercata come $s:\{(x=1+2lambda),(y=-2+2lambda),(z=-1-2lambda):}$
ma quel 2 lambda cosa sarebbe?
comunque io non riesco a capire se al termine di questo procedimento ho già trovato la retta oppure il piano che la contiene, e se devo determinare un'altro piano che intersechi il primo.
??
grazie in anticipo
comunque io non riesco a capire se al termine di questo procedimento ho già trovato la retta oppure il piano che la contiene, e se devo determinare un'altro piano che intersechi il primo.
??
grazie in anticipo
Puoi chiamarla lambda o "t" come vuoi, è un parametro, siccome 2 rette parallele come ha detto mirino hanno i vettori direzionali paralleli(quindi proporzionali tra loro).
Ad esempio: $Vr=lambda*Vs$ (dove Vr e Vs sono 2 generici vettori direzionali), ossia che uno e multiplo dell'altro, dove lambda è uno scalare.
Un esempio di 2 vettori proporzionali è: Vr=(1,2,3) e Vs=(-1,-2,-3) ---> ne deduci che $Vr=(-1)Vs$, allora le rette aventi questi vettori direzionali sono parallele.
Ad esempio: $Vr=lambda*Vs$ (dove Vr e Vs sono 2 generici vettori direzionali), ossia che uno e multiplo dell'altro, dove lambda è uno scalare.
Un esempio di 2 vettori proporzionali è: Vr=(1,2,3) e Vs=(-1,-2,-3) ---> ne deduci che $Vr=(-1)Vs$, allora le rette aventi questi vettori direzionali sono parallele.
si, questo l'ho capito, è che non capisco se il valore 2 è arbitrario o no.
la retta $s$ parallela a $r$ e passante per $P$ dovrebbe essere una sola
la retta $s$ parallela a $r$ e passante per $P$ dovrebbe essere una sola
Il vettore direttore era $V_r(-1,-1,1)$. Ho moltiplicato per $-2$, e quindi ho ottenuto $(2,2,-2)$. Puoi moltiplicare anche per $100$, saranno sempre parallele.
Salve ragazzi,
io mi trovo nella situazione in cui ho la seguente retta r:
x=1+t
y=-1-t
z=2+2t
Devo determinare una retta s, parallela ad r e passante per il punto A(1,2,0)
Come procedo nel mio caso?
io mi trovo nella situazione in cui ho la seguente retta r:
x=1+t
y=-1-t
z=2+2t
Devo determinare una retta s, parallela ad r e passante per il punto A(1,2,0)
Come procedo nel mio caso?
Trovi innanzitutto il vettore direzione di $r$, individuato dai coefficienti ordinati del parametro $t$: $(1,-1,2)$.
La retta $s$, essendo parallela ad $r$, avrà lo stesso vettore direzione. Il passaggio per il punto poi è semplice: infatti, se una retta ha vettore direzionale $(v_1,v_2,v_3)$ e passa per $(x_,y_0,z_0)$, le sue eq. parametriche sono:
$\{(x=tv_1 + x_0),(y=tv_2 + y_0),(z=tv_3 + z_0):}$
dove $t$ è il parametro.
Paola
La retta $s$, essendo parallela ad $r$, avrà lo stesso vettore direzione. Il passaggio per il punto poi è semplice: infatti, se una retta ha vettore direzionale $(v_1,v_2,v_3)$ e passa per $(x_,y_0,z_0)$, le sue eq. parametriche sono:
$\{(x=tv_1 + x_0),(y=tv_2 + y_0),(z=tv_3 + z_0):}$
dove $t$ è il parametro.
Paola
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