Nucleo di un'applicazione lineare
Salve a tutti ho questo esercizio: $\phi: RR^3->RR^3$ per cui:
$\phi(1,0,0)=(1,2,1)$; $\phi(1,1,0)=(0,3,3)$; $\phi(1,1,1)=(-2,2,4)$.
Mi si chiede di determinare il nucleo delle applicazioni.
La definizione di nucleo è $Ker\phi={v in RR^3 : \phi(v)=0}$.
Non riesco a capire come sono calcolate le applicazioni perchè una base di $RR^3$ sarebbe la base $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$.
Come mi calcolo la matrice associata all'applicazione? Sareste cosi gentili da illuminarmi?
$\phi(1,0,0)=(1,2,1)$; $\phi(1,1,0)=(0,3,3)$; $\phi(1,1,1)=(-2,2,4)$.
Mi si chiede di determinare il nucleo delle applicazioni.
La definizione di nucleo è $Ker\phi={v in RR^3 : \phi(v)=0}$.
Non riesco a capire come sono calcolate le applicazioni perchè una base di $RR^3$ sarebbe la base $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$.
Come mi calcolo la matrice associata all'applicazione? Sareste cosi gentili da illuminarmi?
Risposte
Beh anche la povera $\mathcal{B}={((1),(0),(0)),((1),(1),(0)),((1),(1),(1))}$ è una base, non essere razzista! 
Immagino che i vettori immagine che ti dà siano nella base canonica, se non è specificato...? O nella base che dicevo sopra? Ipotizzo sia la prima.
Se vuoi per comodità avere la matrice nella base canonica sia per lo spazio di partenza che di arrivo, devi ricavarti le immagini di $e_1,e_2,e_3$.
Si tratta del sistema
$\{(\phi (e_1)=(1,2,1)),(\phi (e_1 + e_2)=(0,3,3)),(\phi(e_1+e_2+e_3)=(-2,2,4)):}$
ricordando che l'applicazione è lineare!
Dopo di che, ottenute le $\phi(e_j)$, le metti ordinatamente come colonne della matrice. Prova!
Paola
Immagino che i vettori immagine che ti dà siano nella base canonica, se non è specificato...? O nella base che dicevo sopra? Ipotizzo sia la prima.
Se vuoi per comodità avere la matrice nella base canonica sia per lo spazio di partenza che di arrivo, devi ricavarti le immagini di $e_1,e_2,e_3$.
Si tratta del sistema
$\{(\phi (e_1)=(1,2,1)),(\phi (e_1 + e_2)=(0,3,3)),(\phi(e_1+e_2+e_3)=(-2,2,4)):}$
ricordando che l'applicazione è lineare!
Dopo di che, ottenute le $\phi(e_j)$, le metti ordinatamente come colonne della matrice. Prova!
Paola
si @prime grazie per l'aiuto ala fine mi esce un sistema a due equazioni in tre incognite dove metto tutto in funzione di un incognita e mi calcolo le soluzioni del sistema con cramer dopodichè ottengo il vettore soluzione che sarebbe il vettore di una base del nucleo giusto? quindi la prima parte dovrebbe essere risolta.. ma per l'immagine? cioè devo porre $AX=...$ che cosa? la prof mi ha impostato il sistema:
$\{(x+y+2z=1),(x-y+z=0):}$
ma non capisco da dove escono i termini a secondo membro!
$\{(x+y+2z=1),(x-y+z=0):}$
ma non capisco da dove escono i termini a secondo membro!
Il sistema di cui parli per il nucleo immagino sia quello omogeneo che di solito di fa per ottenere il Ker... la dimensione del nucleo comunque è 1, quindi se ti viene un vettore come base va bene, se i conti sono giusti.
Riguardo all'immagine io semplicemente ricorderei che essa è generata dalle colonne della matrice dell'applicazione lineare. Per estrapolare una base, calcola il rango della matrice e prendi poi come base dell'immagine i vettori che hai usato per calcolarlo. Considera che $dim(Ker f) + dim(Im f) =3$ quindi la dimensione di $Im$ sarà 2.
Paola
Riguardo all'immagine io semplicemente ricorderei che essa è generata dalle colonne della matrice dell'applicazione lineare. Per estrapolare una base, calcola il rango della matrice e prendi poi come base dell'immagine i vettori che hai usato per calcolarlo. Considera che $dim(Ker f) + dim(Im f) =3$ quindi la dimensione di $Im$ sarà 2.
Paola
ops...scusa @prime ho fatto confusione! XD l'esercizio comunque l'ho risolto grazie mille! quello che ho scritto sopra fa riferimento ad un altro esercizio cui di seguito riporto la traccia:
Siano $V,V'(K)$; $B=[u,v,w]$ una base di V e $B'=[u',v']$ una base di V'.
Sia $f:V->V'$ l'applicazione lineare così definita: $f(u)=u'+v'$; $f(v)=u'-v'$; $f(w)=2u'+v'$.
1) DEterminare Ker(f) e Im(f).
2) Determinare $f^(-1)(u')$.
Per quanto riguarda il nucleo ho gia fatto come mi hai detto! ora il problema è l'immagine! Nel frattempo ho appreso che bisogna studiare le soluzioni dell'espressione $AX=Y$ ma comunque non capisco il perchè di quei termini noti a secondo membro! potresti aiutarmi?
EDIT: che c'entri per caso la base canonica? o.O
Siano $V,V'(K)$; $B=[u,v,w]$ una base di V e $B'=[u',v']$ una base di V'.
Sia $f:V->V'$ l'applicazione lineare così definita: $f(u)=u'+v'$; $f(v)=u'-v'$; $f(w)=2u'+v'$.
1) DEterminare Ker(f) e Im(f).
2) Determinare $f^(-1)(u')$.
Per quanto riguarda il nucleo ho gia fatto come mi hai detto! ora il problema è l'immagine! Nel frattempo ho appreso che bisogna studiare le soluzioni dell'espressione $AX=Y$ ma comunque non capisco il perchè di quei termini noti a secondo membro! potresti aiutarmi?
EDIT: che c'entri per caso la base canonica? o.O
La matrice associata rispetto alle due basi date è
$((1,1,2),(1,-1,1))$
Per l'immagine, basta notare che la matrice ha rango 2, per cui l'immagine deve coincidere con tutto $V'$ (e il nucleo dunque avere dimensione 0).
Riguardo al sistema impostato dalla tua prof, immagino si riferisca al punto b).
Il vettore $u'$ ha infatti coordinate $(1,0)$ rispetto a $B'$ e la domanda chiede i vettori $(x,y,z)_B$ tali che $f((x,y,z)_B) = (1,0)_{B'}$.
Paola
$((1,1,2),(1,-1,1))$
Per l'immagine, basta notare che la matrice ha rango 2, per cui l'immagine deve coincidere con tutto $V'$ (e il nucleo dunque avere dimensione 0).
Riguardo al sistema impostato dalla tua prof, immagino si riferisca al punto b).
Il vettore $u'$ ha infatti coordinate $(1,0)$ rispetto a $B'$ e la domanda chiede i vettori $(x,y,z)_B$ tali che $f((x,y,z)_B) = (1,0)_{B'}$.
Paola
ok grazie non capivo più nulla! XD comunque il nucleo non mi risulta 0! cioè io ho un vettore alla fine dei calcoli ed infatti io mi trovo che dimV=3 quindi dimKer(f)=1 e dimIm(f)=2 come giustamente dici! solo che non so come calcolare Im(f)!
La definizione è:
$Im(f)={v' in V' | EE v in V |v'=f(v)}$ ma non so come applicare la definizione in questo caso!
La definizione è:
$Im(f)={v' in V' | EE v in V |v'=f(v)}$ ma non so come applicare la definizione in questo caso!
Sì scusa, mi ricordavo male la teoria! E' $dimV = dim (Im f) + dim(Ker f)$, in questo caso 3 e non 2.
Per Imf, come ti ho detto devi prendere le colonne linearmente indipendenti della matrice dell'applicazione.
Paola
Per Imf, come ti ho detto devi prendere le colonne linearmente indipendenti della matrice dell'applicazione.
Paola
ah quindi la mia Im(f) sarà composta dai vettori: (1,1),(1,-1) giusto?
EDIT: scusa se sono scocciante prime ma potresti gentilemente spiegarmi l'analogia che c'è tra Imf e V' e con il rango?
Cioè il rango è il massimo numero di colonne o righe linear indipendenti di una matrice, l'Imf è il sottospazio vettoriale di V' e sarebbe l'insieme delle immagini dei vettori appartenti a V, ed essendo un sottospazio è costituito da almeno una base di V', cioè è costituito da vettori linear indipendeti, e fin qui ci sono ma cosa c'entra il rango con V'?
EDIT: scusa se sono scocciante prime ma potresti gentilemente spiegarmi l'analogia che c'è tra Imf e V' e con il rango?
Cioè il rango è il massimo numero di colonne o righe linear indipendenti di una matrice, l'Imf è il sottospazio vettoriale di V' e sarebbe l'insieme delle immagini dei vettori appartenti a V, ed essendo un sottospazio è costituito da almeno una base di V', cioè è costituito da vettori linear indipendeti, e fin qui ci sono ma cosa c'entra il rango con V'?
Esatto! Vettori che, ricorda, sono espressi in coordinate rispetto a $B'$.
Paola
Paola
in che senso? cioè questi vettori sono comunque costituiti dalle coordinate (x,y)?
Nel senso che ad esempio il vettore $(1,1)$ è $1*u' + 1*v' = u'+v'$.
Paola
Paola
ahhh capito sisi ! ehm per quanto riguarda invece la domanda dell'edit? XD
ehm per quanto riguarda invece la domanda dell'edit? XD
Tu sai che le colonne della matrice sono generatori di $Im f$, dunque per trovarne una base dovrai scartare quelli linearmente dipendenti fino ad averne solo di lin. ind.
Per farlo calcoli, con il metodo degli orlati, il rango della matrice, che corrisponde al numero di vettori colonna lin. indip. Trovato il rango $k$ prendi come base dell'Im f, i $k$ vettori colonna che hai usato per calcolare il rango.
Paola
Per farlo calcoli, con il metodo degli orlati, il rango della matrice, che corrisponde al numero di vettori colonna lin. indip. Trovato il rango $k$ prendi come base dell'Im f, i $k$ vettori colonna che hai usato per calcolare il rango.
Paola
aspetta ma tu mi parli di colonne! la nostra prof ci ha detto che il rango è il massimo numero di colonne o RIGHE linear indip della matrice! ora questo è equivalente o cambia qualcosa? A dire la verità non sapevo che le colonne della matrice generano Imf, dovrò rivedermi un pò la teoria...
Colonne o righe, è indifferente.
Ti basti pensare che il rango è invariante per trasposizione della matrice per capire perché.
Paola
Ti basti pensare che il rango è invariante per trasposizione della matrice per capire perché.
Paola
ah ok grazie mille Paola!
scusa ancora Paola ma sono alle prese con un altro esercizio! XD il problema ora è più semplice.. coma calcolo il determinante di questa matrice?
$A=|(k,1),(k,k),(2k,2)|$
$A=|(k,1),(k,k),(2k,2)|$
Il determinante si può calcolare solo per matrici quadrate.
Se stai studiando un sistema, dovrai calcolarne il rango, non il determinante.
Paola
Se stai studiando un sistema, dovrai calcolarne il rango, non il determinante.
Paola
si ma poi come applico cramer?
EDIT: ho provato in questomodo:
$(k,k,2k)=a(1,k,2)$ ed ho risolto il sistema la cui soluzione è $k=1$. Dunque per $k=1$ essi sono dipendenti, indipendenti altrimenti! ma comunque non so calcolare le soluzioni!
EDIT: ho provato in questomodo:
$(k,k,2k)=a(1,k,2)$ ed ho risolto il sistema la cui soluzione è $k=1$. Dunque per $k=1$ essi sono dipendenti, indipendenti altrimenti! ma comunque non so calcolare le soluzioni!
Cramer lo applichi quando il sistema è determinato, se ti ritrovi con quella matrice certo non lo è.
Inoltre la presenza del $k$ mi fa pensare che tu debba fare una discussione del sistema. Ripassa Rouche Capelli.
Paola
Inoltre la presenza del $k$ mi fa pensare che tu debba fare una discussione del sistema. Ripassa Rouche Capelli.
Paola
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