[ALGEBRA] Sistema lineare al variare di h (secondo ese)
Salve a tutti ragazzi, ho da poco concluso un esercizio e adesso se ne presenta un altro:
Discutere
$\{((h+1)x + y + z=1),(hx+z=2),(x+(h-1)y+z=0):}
al variare di h.
Calcolo il determinante della matrice incompleta
$|((h+1),1,1),(h,0,1),(1,(h-1),1)|$
che mi risulta uguale a h-1, quindi il determinante della matrice incompleta sarà zero per h=1
calcolo il rango della matrice incompleta per h=1 e mi risulta che il rango è due (due righe sono uguali, quindi cerco una matrice di ordine minore con determinante diverso da 0), poi calcolo il rango della matrice completa e mi risulta 3. Ne deduco che il sistema è incompatibile per h=1.
Devo calcolare Cramer per h diverso da 1?
Discutere
$\{((h+1)x + y + z=1),(hx+z=2),(x+(h-1)y+z=0):}
al variare di h.
Calcolo il determinante della matrice incompleta
$|((h+1),1,1),(h,0,1),(1,(h-1),1)|$
che mi risulta uguale a h-1, quindi il determinante della matrice incompleta sarà zero per h=1
calcolo il rango della matrice incompleta per h=1 e mi risulta che il rango è due (due righe sono uguali, quindi cerco una matrice di ordine minore con determinante diverso da 0), poi calcolo il rango della matrice completa e mi risulta 3. Ne deduco che il sistema è incompatibile per h=1.
Devo calcolare Cramer per h diverso da 1?
Risposte
Sì perché per $h=1$ il rango dell'incompleta è massimo e dunque anche quello della completa, quindi sono uguali e uguali al numeri delle variabili, quindi il sistema è risolubile.
Paola
Paola
Chiaramente intendeva per $h !=1$.
Ok, per $h!=1$ con Cramer mi viene la seguente terna di soluzioni:
per x $((h-3)/(h-1))$
per y $((h+1)/(h-1))$
per z $((-h^2-h+2)/(h-1))$
spero di aver risolto in modo giusto
per x $((h-3)/(h-1))$
per y $((h+1)/(h-1))$
per z $((-h^2-h+2)/(h-1))$
spero di aver risolto in modo giusto
Scusate, mi sorge una domanda, ma devo usarlo _sempre_ Cramer per i valori diversi da quelli trovati nel determinante della matrice incompleta dei coefficienti?
Soprattutto se devi trovare le soluzioni.
Esistono dei casi in cui mi è impossibile farlo?
Non capisco molto il senso della tua domanda. Quando il sistema è compatibile, a patto di portare a secondo membro una o più variabili come parametri se necessario, è sempre possibile determinare le soluzioni con Cramer. Quando il sistema è incompatibile, evidentemente non ha senso continuare.
Leggiti attentamente il teorema di Rouche Capelli, non puoi sbagliare.
Paola
Paola
"speculor":
Non capisco molto il senso della tua domanda.
Allora, nel mio esercizio (per fare un esempio concreto), per $h=1$ il sistema risultava incompatibile (ranghi matrici completa e incompleta diversi), quindi le soluzioni non le dovevo calcolare.. se i ranghi fossero stati uguali, per il teorema di Rouché-Capelli il sistema sarebbe stato compatibile quindi mi calcolavo le soluzioni per $h=1$.
La parte in cui mi calcolo le soluzioni per $h!=1$ con Cramer è sempre da fare, o c'è qualche condizione per cui io non posso farla?
Spero di essermi spiegato in modo più chiaro
è una cosa che mi interessa particolarmente, perché capita a volta che mi trovo davanti ad esercizi con risultati diversi dal solito e non saprei come continuare 
"prime_number":
Leggiti attentamente il teorema di Rouche Capelli, non puoi sbagliare.
Preso da un libro di scuola superiore, lo riscrivo qui per promemoria
Condizione necessaria e sufficiente afffinché un sistema di equazioni lineari sia compatibile è che la matrice dei coefficienti e la matrice completa abbiano lo stesso rango, ossia:
rango(A) = rango(A|B)
Rouchè Capelli ti dà un metodo sistematico per risolvere i sistemi, eccolo qua.
Chiami con $A, A'$ rispettivamente la matrice incompleta e completa e $n$ il numero delle incognite.
caso 1. $r(A)\ne r(A')$. Sistema impossibile.
caso 2. $r(A)=r(A')$
sottocaso 2a. $r(A)=r(A')=n$.Sistema determinato, usare Cramer per esplicitare le soluzioni.
sottocaso 2b. $r(A)=r(A')=k
Paola
Chiami con $A, A'$ rispettivamente la matrice incompleta e completa e $n$ il numero delle incognite.
caso 1. $r(A)\ne r(A')$. Sistema impossibile.
caso 2. $r(A)=r(A')$
sottocaso 2a. $r(A)=r(A')=n$.Sistema determinato, usare Cramer per esplicitare le soluzioni.
sottocaso 2b. $r(A)=r(A')=k
Paola
"MakaSum":
La parte in cui mi calcolo le soluzioni per $h!=1$ con Cramer è sempre da fare, o c'è qualche condizione per cui io non posso farla?
Spero di essermi spiegato in modo più chiaro
Se devi calcolare le soluzioni -devi calcolarle!
In generale: usare Cramer vuol dire calcolare, per $n$ variabili, $n+1$ determinanti. Il che
è grandemente dispendioso in termini di "costo computazionale" (operazioni da compiere).
Se hai già visto che il sistemaè compatibile o meno, calcolando i due ranghi, uno
degli $n+1$ determinanti lo hai già calcolato -del resto per un sistema 3x3 -come di solito sono
i sistemi per cui si chiede una discussione al variare di un parametro, la cosa è fattibile-.
Puoi comunque fare una "riduzione a scalini di Gauss" -ed avere così:
-immediata visione della compatibilità o meno del sistema: vedrai il rango dal numero di "pivot".
-semplice poi risoluzione "a cascata".
Ragazzi vi ringrazio tantissimo, ogni cosa che chiedo, rispondendomi mi date una sicurezza in più!
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