Spazio proiettivo complesso isomorfo alla sfera
Avrei bisogno una mano con questo esercizio...
Sia \( S^3 \subset \mathbb{C}^2 \) e \( \mathbb{C}P^1 \) il quoziente sotto l'azione di \( S^1 \subset \mathbb{C} \). Identifichiamo dunque \((z,z') \in S^3 \) con \( (az,az') \) per tutti i numeri complessi di norma 1, dove \( z,z' \) sono le coordinate complesse di un punto di \( S^3 \).
Sia \( q: S^3 \to \mathbb{C} P^1 \) l'applicazione quoziente.
1) Dimostra che la preimmagine di un punto di \( \mathbb{C}P^1 \) è un cerchio in \( S^3 \)
2) Dimostra che l'applicazione \((z,z') \mapsto (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' ) \) da \( \mathbb{C}^2 \) in \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \) definisce un applicazione \( \eta : S^3 \to S^2 \)
3) Dimostra che \( \eta \) è suriettiva e che la preimmagine di ciascun punto è il cerchio
4) Dimostra che la preimmagine dell'equatore \( 0 \times S^1 \subset S^2 \) è un toro
5) Dimostra che \( \mathbb{C}P^1 \) è omeomorfo alla sfera \( S^2 \).
Per il punto 1)
Direi che \( S^1 \) agisce a destra su \( S^3 \) per moltiplicazione sulle singole coordinate abbiamo e che
\( \mathbb{C}P^1 = S^3/ S^1 \) è dunque lo spazio delle orbite dell'azione di \(S^1 \) su \(S^3 \), abbiamo che è dato dunque da \( (z,z') \cdot a = (az,az') \) e pertanto se \( \left| a \right| = 1 \) abbiamo dunque che
\( q((az,az') ) = (z,z') \) per ogni \( a \in S^1 \), dove \((z,z')\) è il rappresentante di un orbita e sarei dunque tentato di dire che \( q^{-1}( (z,z')) \) è un cerchio ma non so se è così evidente...
Per il punto 2) farei così:
\( S^3 \) è identificato come sottoinsieme di \( (z,z') \in \mathbb{C}^2 \) tale che \( \left| z \right|^2 + \left|z'\right|^2= 1 \) mentre abbiamo che \( S^2 \) è identificato con il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \ni (x,z) \) tale che \(x^2 + \left|z\right|^2 = 1 \) e siccome
Definirei dunque \( \eta ((z,z')) = (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' )\)
E abbiamo che se \((z,z') \in S^3 \) allora
\[ (2 z \bar{z}' )^2 + \left(\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 \right)^2 = 4 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z \right|^4 - 2 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z' \right|^4 = \left( (\left| z \right|^2 +\left|z'\right|^2 \right)^2 = 1 \]
e dunque otteniamo che \( \eta ((z,z')) \in S^2 \).
Per il punto 3)
Per la suriettività direi che "perdo" una dimensione e quindi è chiaro che è suriettiva ma non so come formalizzarlo.
Mentre per la preimmagine che è un cerchio noterei che se ho \( (z,z') \) e \( a \in S^1 \) allora \( \eta( (z,z'))=\eta( (az,az')) \) inoltre abbiamo anche che se \( \eta( (z,z'))=\eta( (\omega,\omega')) \) allora \( (\omega,\omega')= (az,az') \) per un qualche \( a \in S^1 \). E sarei dunque tentato di dire come nel punto 1) che la preimmagine di \( \eta \) è un cerchio.
Per il 4) ed il 5) non ho nessuna idea....
Sia \( S^3 \subset \mathbb{C}^2 \) e \( \mathbb{C}P^1 \) il quoziente sotto l'azione di \( S^1 \subset \mathbb{C} \). Identifichiamo dunque \((z,z') \in S^3 \) con \( (az,az') \) per tutti i numeri complessi di norma 1, dove \( z,z' \) sono le coordinate complesse di un punto di \( S^3 \).
Sia \( q: S^3 \to \mathbb{C} P^1 \) l'applicazione quoziente.
1) Dimostra che la preimmagine di un punto di \( \mathbb{C}P^1 \) è un cerchio in \( S^3 \)
2) Dimostra che l'applicazione \((z,z') \mapsto (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' ) \) da \( \mathbb{C}^2 \) in \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \) definisce un applicazione \( \eta : S^3 \to S^2 \)
3) Dimostra che \( \eta \) è suriettiva e che la preimmagine di ciascun punto è il cerchio
4) Dimostra che la preimmagine dell'equatore \( 0 \times S^1 \subset S^2 \) è un toro
5) Dimostra che \( \mathbb{C}P^1 \) è omeomorfo alla sfera \( S^2 \).
Per il punto 1)
Direi che \( S^1 \) agisce a destra su \( S^3 \) per moltiplicazione sulle singole coordinate abbiamo e che
\( \mathbb{C}P^1 = S^3/ S^1 \) è dunque lo spazio delle orbite dell'azione di \(S^1 \) su \(S^3 \), abbiamo che è dato dunque da \( (z,z') \cdot a = (az,az') \) e pertanto se \( \left| a \right| = 1 \) abbiamo dunque che
\( q((az,az') ) = (z,z') \) per ogni \( a \in S^1 \), dove \((z,z')\) è il rappresentante di un orbita e sarei dunque tentato di dire che \( q^{-1}( (z,z')) \) è un cerchio ma non so se è così evidente...
Per il punto 2) farei così:
\( S^3 \) è identificato come sottoinsieme di \( (z,z') \in \mathbb{C}^2 \) tale che \( \left| z \right|^2 + \left|z'\right|^2= 1 \) mentre abbiamo che \( S^2 \) è identificato con il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \times \mathbb{C} \ni (x,z) \) tale che \(x^2 + \left|z\right|^2 = 1 \) e siccome
Definirei dunque \( \eta ((z,z')) = (\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 , 2 z \bar{z}' )\)
E abbiamo che se \((z,z') \in S^3 \) allora
\[ (2 z \bar{z}' )^2 + \left(\left| z \right|^2 - \left|z'\right|^2 \right)^2 = 4 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z \right|^4 - 2 \left|z\right|^2 \left| z' \right|^2 + \left| z' \right|^4 = \left( (\left| z \right|^2 +\left|z'\right|^2 \right)^2 = 1 \]
e dunque otteniamo che \( \eta ((z,z')) \in S^2 \).
Per il punto 3)
Per la suriettività direi che "perdo" una dimensione e quindi è chiaro che è suriettiva ma non so come formalizzarlo.
Mentre per la preimmagine che è un cerchio noterei che se ho \( (z,z') \) e \( a \in S^1 \) allora \( \eta( (z,z'))=\eta( (az,az')) \) inoltre abbiamo anche che se \( \eta( (z,z'))=\eta( (\omega,\omega')) \) allora \( (\omega,\omega')= (az,az') \) per un qualche \( a \in S^1 \). E sarei dunque tentato di dire come nel punto 1) che la preimmagine di \( \eta \) è un cerchio.
Per il 4) ed il 5) non ho nessuna idea....
Risposte
4) Se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di \(\{p\}\times \mathbb{S}^1 = \coprod_{x\in \mathbb{S}^1}\{p\}\) è \(\coprod_{x\in \mathbb{S}^1} \mathbb{S}^1 = \mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1\), perché \(\eta^\leftarrow(\,\_\,)\) commuta con le immagini inverse.
5) E' una cosa classicissima che sta ovunque: usa le due proiezioni stereografiche dai poli nord e sud della sfera, sono definite con dominii \(U_N:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{N\}\) e \(U_S:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{S\}\). Devi dimostrare che esistono due omeomorfismi \(\varphi_N : U_N \to \mathbb R^2\) e \(\varphi_S : U_S \to \mathbb R^2\) compatibili sull'intersezione \(U_N\cap U_S = \mathbb{S}^2 \smallsetminus\{N,S\}\); se proprio vuoi fare l'esercizio fino in fondo, identificando \(\mathbb R^2\) con \(\mathbb C\), le \(\varphi\) sono funzioni olomorfe.
Solitamente, per definire \(\varphi_N\) si fa così: un elemento della stella di rette di centro N interseca \(\mathbb{S}^2\) in un unico punto \(P\) e in un unico punto \(\varphi_N(P) \in \mathbb R^2\). Questa funzione, quando viene scritta in coordinate, è un omeomorfismo perché è un rapporto di funzioni polinomiali; per scriverla in coordinate, scegli un riferimento intelligente: solitamente il polo nord è il punto \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\), la sfera è il sottoinsieme \(\{\vec x \in\mathbb R^3 \mid |\vec x|=1\}\subset \mathbb R^3\) dotato della topologia di sottospazio, ed \(\mathbb R^2\) viene identificato al piano \(z=0\). In questa convenzione, l'intersezione tra \(\mathbb S^2\) e il piano è il luogo dei punti fissi; l'interno di questa intersezione viene identificato all'emisfero inferiore della sfera, e l'esterno a quello superiore; analogamente accade per la proiezione dal polo sud.
5) E' una cosa classicissima che sta ovunque: usa le due proiezioni stereografiche dai poli nord e sud della sfera, sono definite con dominii \(U_N:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{N\}\) e \(U_S:=\mathbb{S}^2\smallsetminus\{S\}\). Devi dimostrare che esistono due omeomorfismi \(\varphi_N : U_N \to \mathbb R^2\) e \(\varphi_S : U_S \to \mathbb R^2\) compatibili sull'intersezione \(U_N\cap U_S = \mathbb{S}^2 \smallsetminus\{N,S\}\); se proprio vuoi fare l'esercizio fino in fondo, identificando \(\mathbb R^2\) con \(\mathbb C\), le \(\varphi\) sono funzioni olomorfe.
Solitamente, per definire \(\varphi_N\) si fa così: un elemento della stella di rette di centro N interseca \(\mathbb{S}^2\) in un unico punto \(P\) e in un unico punto \(\varphi_N(P) \in \mathbb R^2\). Questa funzione, quando viene scritta in coordinate, è un omeomorfismo perché è un rapporto di funzioni polinomiali; per scriverla in coordinate, scegli un riferimento intelligente: solitamente il polo nord è il punto \(\left(\begin{smallmatrix} 0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\), la sfera è il sottoinsieme \(\{\vec x \in\mathbb R^3 \mid |\vec x|=1\}\subset \mathbb R^3\) dotato della topologia di sottospazio, ed \(\mathbb R^2\) viene identificato al piano \(z=0\). In questa convenzione, l'intersezione tra \(\mathbb S^2\) e il piano è il luogo dei punti fissi; l'interno di questa intersezione viene identificato all'emisfero inferiore della sfera, e l'esterno a quello superiore; analogamente accade per la proiezione dal polo sud.
1) Fai il calcolo. 
2) Va bene.
3) Una parte segue dal punto (1); dovresti solo dimostrare che ogni punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) ha pre-immagine non vuota.
2) Va bene.
3) Una parte segue dal punto (1); dovresti solo dimostrare che ogni punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) ha pre-immagine non vuota.
"j18eos":
1) Fai il calcolo.
2) Va bene.
3) Una parte segue dal punto (1); dovresti solo dimostrare che ogni punto di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) ha pre-immagine non vuota.
Per 1) intendi
\[ \left| za \right|^2 + \left| az' \right|^2 = \left|z \right|^2 \left|a \right|^2 + \left| z' \right|^2 \left| a \right|^2 = \left| z \right|^2 + \left| z' \right|^2 = 1 \]
e visto che \((z,z') \) è fisso e \(a\) varie in \(S^1 \) allora è un cerchio?
Per 3) non posso dire più semplicemente che siccome \( \eta \) passa al quoziente esiste un unica applicazione \( \bar{ \eta} : \mathbb{C}P^1 \to S^2 \) tale che \( \bar{\eta} \circ q = \eta \) allora è chiaro che \( \eta \) è suriettiva in quanto è \( q \) e \( \bar{\eta} \) lo sono e che la preimmagine di un punto per \(\eta \) è un cerchio di \(S^3 \) siccome la preimmagine di un punto \(S^2) \) per \( q^{-1} \circ \bar{\eta}^{-1} \) è un cerchio di \(S^3 \) grazie al punto 1)
"solaàl":
4) Se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di \(\{p\}\times \mathbb{S}^1 = \coprod_{x\in \mathbb{S}^1}\{p\}\) è \(\coprod_{x\in \mathbb{S}^1} \mathbb{S}^1 = \mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1\), perché \(\eta^\leftarrow(\,\_\,)\) commuta con le immagini inverse.
Non capisco perché scrivi l'equatore come \( 0 \times S^1 =\coprod_{x\in \mathbb{S}^1}0 \)
E perché \( \coprod_{x\in \mathbb{S}^1} S^1 = S^1 \times S^1 \)
Sì, è un abuso di notazione volto a farti capire "perché" è vero; il coprodotto a sinistra dell'uguale ha una topologia diversa dalla topologia prodotto sul toro. L'idea, comunque, è che se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di una circonferenza (su cui il punto corre) è una circonferenza che corre sulla circonferenza controimmagine di ciascun punto.
Se vuoi formalizzare questa idea, trova una parametrizzazione di questa controimmagine
Se vuoi formalizzare questa idea, trova una parametrizzazione di questa controimmagine
"solaàl":
Sì, è un abuso di notazione volto a farti capire "perché" è vero; il coprodotto a sinistra dell'uguale ha una topologia diversa dalla topologia prodotto sul toro. L'idea, comunque, è che se la controimmagine di un punto è un cerchio, la controimmagine di una circonferenza (su cui il punto corre) è una circonferenza che corre sulla circonferenza controimmagine di ciascun punto.
Se vuoi formalizzare questa idea, trova una parametrizzazione di questa controimmagine
Ok intuitivamente ci sono. Provo a trovare questa parametrizzazione... anche se penso sia un casino!
ma no, è solo la fibrazione di Hopf...
@3m0o
(1) Perfetto!
(3) Salvo mio errori, va bene!
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