Spazi metrici e continuità della metrica
Sia $ X $ uno spazio metrico e $ d $ la sua metrica.
1) Dimostrare che $ d : X xx X -> RR $ è continua nella topologia che induce.
2) Dimostrare che la topologia indotta dalla metrica $ d $ è la meno fine in cui $ d $ sia continua.
Il punto (1) si può risolvere così considerando la controimmagine di un elemento della base di $ RR $ come $ (a,b) $. Se $(x, y)$ appartiene alla controimmagine possiamo costruire un intorno di $ (x, y) $ incluso nella contro immagine.
$ (x, y) in B_delta(y)xxB_delta(x) $, applicando ripetutamente la disuguaglianza triangolare si vede che il generico elemento di questo insieme soddisfa: $ d(x,y)-2delta < d(x',y') < d(x,y) +2delta $ . Prendendo $ delta = (min{d(x,y) -a, b-d(x,y)})/2 $ otteniamo un aperto incluso nella controimmagine. Qundi la controimmagine è un aperto e $ d $ è continua.
Chiamiamo $ T $ la topologia indotta dalla metrica $ d $. Per dimostrare il (2) bisogna mostrare che se in una topologia $ T' $ per $ X $ la funzione $ d $ è continua allora $ T sub T' $ (non strettamente). Come si potrebbe fare?
1) Dimostrare che $ d : X xx X -> RR $ è continua nella topologia che induce.
2) Dimostrare che la topologia indotta dalla metrica $ d $ è la meno fine in cui $ d $ sia continua.
Il punto (1) si può risolvere così considerando la controimmagine di un elemento della base di $ RR $ come $ (a,b) $. Se $(x, y)$ appartiene alla controimmagine possiamo costruire un intorno di $ (x, y) $ incluso nella contro immagine.
$ (x, y) in B_delta(y)xxB_delta(x) $, applicando ripetutamente la disuguaglianza triangolare si vede che il generico elemento di questo insieme soddisfa: $ d(x,y)-2delta < d(x',y') < d(x,y) +2delta $ . Prendendo $ delta = (min{d(x,y) -a, b-d(x,y)})/2 $ otteniamo un aperto incluso nella controimmagine. Qundi la controimmagine è un aperto e $ d $ è continua.
Chiamiamo $ T $ la topologia indotta dalla metrica $ d $. Per dimostrare il (2) bisogna mostrare che se in una topologia $ T' $ per $ X $ la funzione $ d $ è continua allora $ T sub T' $ (non strettamente). Come si potrebbe fare?
Risposte
1) Non vedo errori.
2) Io utilizzerei la proprietà universale della topologia prodotto: sai di cosa parlo?
2) Io utilizzerei la proprietà universale della topologia prodotto: sai di cosa parlo?
Non so niente di algebra universale però googlando ho capito a cosa fai riferimento, grazie.
Se $d$ è continua anche la seguente funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue:
$ f: X -> RR $
$ f(x) = d(x, x_0) $
Dove $ x_0 in X$ è fissato.
La contro immagine di $(-1, epsilon)$ è la palla aperta $B_d(x_0, epsilon)$ ($d$ nell'apice per sottolineare che non è quello della metrica che induce la topologia in questo caso) che quindi deve essere un aperto di $T'$. Facendo variare $epsilon$ e $x_0$ si vede che $T'$ possiede tutti gli elementi della base di $T$ e quindi deve essere più fine.
Se $d$ è continua anche la seguente funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue:
$ f: X -> RR $
$ f(x) = d(x, x_0) $
Dove $ x_0 in X$ è fissato.
La contro immagine di $(-1, epsilon)$ è la palla aperta $B_d(x_0, epsilon)$ ($d$ nell'apice per sottolineare che non è quello della metrica che induce la topologia in questo caso) che quindi deve essere un aperto di $T'$. Facendo variare $epsilon$ e $x_0$ si vede che $T'$ possiede tutti gli elementi della base di $T$ e quindi deve essere più fine.
"Overflow94":
Non so niente di algebra universale però googlando ho capito a cosa fai riferimento, grazie.
Se $ d $ è continua anche la seguente funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue:
$ f: X -> RR $
$ f(x) = d(x, x_0) $
Dove $ x_0 in X $ è fissato.
La contro immagine di $ (-1, epsilon) $ è la palla aperta $ B_d(x_0, epsilon) $ ($ d $ nell'apice per sottolineare che non è quello della metrica che induce la topologia in questo caso) che quindi deve essere un aperto di $ T' $. Facendo variare $ epsilon $ e $ x_0 $ si vede che $ T' $ possiede tutti gli elementi della base di $ T $ e quindi deve essere più fine.
Sì, direi che il discorso è corretto. Nel commento sul pedice, sembri presupporre che la topologia \(T'\) su \(X\) debba essere indotta da una metrica, ma non è così. L'unica cosa che stai supponendo è che \(X\times X\) abbia la topologia prodotto rispetto a quella topologia. Detto questo, la notazione va benissimo, il mio era solo un chiarimento.
Si ne sono cosciente ma mi sono espresso in un modo un po' ambiguo, grazie per la precisazione.
Un piccolo consiglio, quando cerchi di dimostrare la continuità puoi usare molte definizioni equivalenti. Ogni tanto è più facile usare una definizione invece che un'altra. Per esempio, nella dimostrazione del punto 1 io avrei usato la definizione di continuità puntuale che usa gli intervalli per eliminare il problema che il punto non si trovi al centro.
@Overflow94 Neanch'io conosco l'algebra universale; comunque è tutto corretto! 
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