Teorema sul polinomio caratteristico

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Buonasera, ho un problema con una dimostrazione:
Sia $T:VtoV $ un endomorfismo e A la matrice che rappresenta T rispetto ad una base.
Allora $lambda_0$ è autovalore di T $<=> p_T(lambda_0)=det(A-lambda_0I)=0$

Dimostrazione: $lambda_0$ è autovalore di T$<=> Ax=lambda_0x$ ammette una soluzione $<=>(A-lambda_0I)x=0$ ammette una soluzione $<=> det(A-lamda_0I)=0$.

Ora c'è qualcosa che mi sfugge perché non capisco come mai il determinante dell'ultima matrice dovrebbe essere nullo affinché il sistema ammetta soluzione unica non nulla. Non dovrebbe essere invece diverso da 0?

[solaàl]

Non credo ti sia chiaro cos'è un determinante e cosa significa che esso è uguale a zero.

\(Pv=0\) può avere una soluzione diversa da zero se e solo se \(P\) ha determinante zero, perché in quel caso, e solo in quel caso \(\ker P \supsetneq \langle 0\rangle\).

Nel caso in cui \(P\) ora sia la matrice \(A-\lambda I\), trovare quei \(\lambda\) tali che \(\det(A-\lambda I)=0\) equivale esattamente a trovare le radici del polinomio caratteristico di $A$.

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Grazie della risposta, ho capito l'errore in quello che ho scritto ma non so cosa significhi questa notazione

"solaàl":perché in quel caso, e solo in quel caso \(\ker P \supsetneq \langle 0\rangle\).

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Molto chiaro, grazie mille

[solaàl]

Due al prezzo di uno, hai risolto il tuo problema e conosci anche un ideogramma in più.