Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno,
in merito alla classica dimostrazione della suddetta disuguaglianza: $ | x \cdot y| <=| x| cdot| y| $
con x e y vettori, si usa risolvere analizzando $ | x + lambda y| ^2>=0 $ per ottenere: $ | x | ^2 +2lambda(xcdoty)+lambda^2| y| ^2 >=0 $ il tutto è valido per ogni lambda reale.
A questo punto però, si usa scegliere un particolare lambda ad esempio: $ lambda=-(xcdoty)/ (| y| ^2) $ per ottenere la disuguaglianza. Quello che non capisco è come si fa a dare carattere generale a questa disuguaglianza, facendola valere per ogni coppia di ...
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi se sapete come dimostrare che, se il campo K è infinito, ogni aperto di Zariski A $\ne$ ∅ è denso in $k^n$
A livello concettuale penso sia una banalità ma non so come dimostrarlo rigorosamente.
Grazie a tutti per la risposta!
Ciao a tutti. Torno a fare una capatina sul forum dopo parecchio tempo per chiedere una consulenza su una questione sicuramente banale.
Problema
Supponiamo di avere una matrice $A\in\mathbb{R]^{n\times n}$ e questa sia simmetrica e definita positiva. La domanda è questa: se si opera un partizionamento di $A$, i blocchi simmetrici che si possono ottenere, sono a loro volta matrici definite positive, o almeno invertibili?
Purtroppo le mie (scarse) competenze di algebra lineare risalenti ...
Sto imparando adesso cosa significhi rigorosamente la parola 'superficie k-dimesionale'.
La definizione che sto usando è questa:
un insieme \(\displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \(\displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \(\displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \(\displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \(\displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale ...
Buonasera,
Il professore, con questo esempio, ci ha spiegato come ricavare una base di $ VnnW $, dove V e W sono due sottospazi vettoriali.
$ V = span([ ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) ];[ ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( -1 ) ] ) $, $ W = span([ ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ];[ ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 2 ) ] ) $
$ V:[ ( 1 , 1 , x_1 ),( 1 , -1 , x_2 ),( 1 , 1 , x_3 ),( 1 , -1 , x_4 ) ] $ e Applicando Gauss viene: $ [ ( 1 , 1 , x_1 ),( 0, -2 , x_2-x_1 ),( 0 , 0 , x_3-x_1 ),( 0 , 0 , x_4-x_2 ) ] $
Stessa cosa per W:
$ W:[ ( 1 , 1 , x_1 ),( 0 , 2 , x_2 ),( 0 , 0 , x_3-x_1+x_2/2 ),( 0 , 0 , x_4-x_2 ) ] $
Da W e V ottengo il seguente sistema:
$ { ( x_3-x_1=0 ),( x_4-x_2=0 ),( x_3-x_1 +x_2/2=0),( x_4-x_2=0 ):} $
$ { ( x_1 = x_3 ),( x_2=0 ),(x_3= x_1),( x_4=0):} $
Quindi, $ Vnn W={lambda w_1: lambda in R} $
In particolare, non ho capito il passaggio che mi porta dall'ultimo sistema alla base di ...
Salve a tutti,
sto preparando l'esame di Geometria 2 e sono alle prese con la dimostrazione della seguente proposizione: Se una quadra Q contiene un piano $ pi $ allora Q è riducibile (ovvero Q è unione di piani distinti oppure si riduce ad un unico piano)
Il prof a lezione ha dato un accenno della dimostrazione utilizzando i punti doppi ma a me non è per niente chiaro come bisogna procedere in questo senso
Ci ha detto, peró, che potremmo anche prendere un'altra strada ed io ho ...
Salve a tutti, ho i seguenti 2 problemi di algebra lineare:
Problema 1:
Siano u, v e w vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale e siano i = u+2v, j = 2u−v e k = u+v+w.
(a) Dimostrare che i vettori i, j e k sono linearmente indipendenti.
(b) Trovare numeri a, b, c tali che 2u − 3v − w = ai + bj + ck.
Problema 2:
Si considerino i vettori di R3
v1 =(1,0,-1); v2 = (1,1,1); u1 = (1,3,5); u2 = (0,-1,-2)
e siano V = Span(v1, v2), U = Span(u1, u2).
(a) Dimostrare che V = U ...
Salve ragazzi!
Data la matrice $4 xx 4$:
$A= ((2, -1, 1, 0), (0, 2, 0, 1), (0, 0, 3, 1), (0, 0, 0, 3))$
riesco a determinare la matrice di Jordan ma non riesco a capire come trovare la base di jordan: quando devo determinare le basi degli autospazi generalizzati, non ho capito quando devo prendere vettori della base canonica e quando invece cercare una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice alla matrice in questione.
vi sarei grata se qualcuno fosse disposto a spiegarlo in modo ...
Ciao a tutti, mi servirebbe aiuto con un esercizio di geometria diffenziale, che però arriva da un corso di relatività generale (quindi non ho conoscenze troppo approfondite degli aspetti matematici). L'esercizio è riportato nell'immagine:
In particolare non riesco ad arrivare alla formula 10, ho provato ad usare la seguente forma per la derivata covariante $ grad_(bar(u))bar(u)=bar(u)^k(e_k(bar(u)^i)+ (Gamma^i)_(k,j)bar(u)_j)e_i $ , ma mi risulta solamente il primo termine della formula 10 dell'immagine, cioè, sfruttando ...
Salve,
avrei un esercizio da proporvi: dimostrare che l'intersezione della quadrica $Q: x^2+y^2+xy-3x-4y+z+5/2=0$ con il piano $\pi: x+y+z=2$ è una circonferenza. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il metodo giusto da usare?
Grazie
Salve a tutti,
mi imbatto spesso in diversi testi che danno definizioni diverse a concetti simili se non addirittura uguali.
Ho trovato in alcuni appunti delle definizioni per i concetti elencati nel titolo del post.
Ne ho desunto che alcuni chiamano varietà lineare un qualunque sottospazio di spazio vettoriale V , di dimensione n, generato da m vettori di questo linearmente indipendenti.
Altri definiscono in modo identico la varietà "quasi" lineare al sottospazio affine di spazio vettoriale V ...
Buonasera,
In $RR^2$ considero i seguenti sottospazi vettoriali:
banali : $RR^2$ e ${O}$
non banali : $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ e $RR_v={cv in RR^2:c in RR}$
Risulta che $RR^2 cap {O}= {O} $ cioè la somma è diretta, invece per gli altri procedo cosi per verificare che la somma è diretta:
Siano $U={(x,0)in RR^2: x in RR}$ , $W={(0,y)in RR^2:y in RR}$ sottospazi di $RR^2$ chiediamoci se la loro somma è diretta il che equivale a dire $U cap W={O} $. In tal caso ...
Buonasera! Ho questa domanda: sul libro su cui sto studiando, quando viene trattata la somma e intersezione di sottospazi vettoriali, il libro dice che per dimostrare che la somma tra due spazi sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale bisogna dimostare che la somma e il prodotto per uno scalare sono chiusi (e ciò è ovvio da verificare per soddisfare le proprietà dei sottospazi), e infine l'appartenenza del vettore nullo. Poi, però, guardando in altri libri online, ho trovato un'altra ...
Scusate,sono al primo anno di matematica all'università,e mi sto scervellando letteralmente per capire una cosa di un esercizio che è fondamentale per trovare la base del nucleo di un'applicazione lineare.
Vorrei chiedere,come mai se le coordinate dei vettori del nucleo rispetto ad una determinata base sono
x1=0
3x1 + 2x2 + x3 = 0
-12x1 - 6x2 - 3x3 =0
il nucleo diviene il sottospazio vettoriale formato dai vettori (v2 - 2v3) e (v4)??
Qual è il passaggio matematico algebrico che ...
Buonasera, vi vorrei chiedere alcune chiarimenti riguardante la definizione di sottospazio generato, vi riporto la definizione
Sia $X$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriali $V$ sul campo $K$. Sia $V(X)$ l'insieme costituito dai sottospazi vettoriali contenenti $X$.
Definizione: Si definisce sottospazio generato da $X$, l'intersezione degli elementi di $V(X)$.
In ...
Salva a tutti,
sono alle prese con il seguente esercizio:
Siano
$$v_1=\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix}1\\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, c_t=\begin{pmatrix}1\\ 2t \\ 1\end{pmatrix}$$
vettori di $\mathbb{R^3}$, con $t\in\mathbb{R}$.
Si provi che i vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti.
Si ...
Salve, avrei un dubbio circa mettere in pratica la definizione di metriche topologicamente equivalenti.
In poche parole so che due metriche d e d' su X sono topologicamente equivalenti se inducono la stessa topologia su X, o meglio se hanno gli stessi insiemi aperti.
Ora il punto e' il seguente: devo svolgere un esercizio che mi da due metriche e devo dimostrare che esse sono topologicamente equivalenti.
Come faccio a trovare la topologia di una metrica e confrontarla con la topologia ...
Ciao e perdonate il dubbio magari banale
Prendiamo una matrice quadrata $A$ singolare e consideriamo una matrice $K$ quadrata tale che:
$AK = A$
$KA = A$
quindi anche il commutatore $AK - KA$ è nullo.
Ora la domanda è: $K$ è necessariamente la matrice identita' ? Nel caso GL(n,R) ovviamente si per l'unicita' dell'elemento neutro, ma nel caso generale in cui $A$ e' singolare ?
grazie
Avrei due dubbi sulla definizione di somma convessa.
Definizione: Siano \(S\), \( T \) due superfici, la somma convessa \( S \# T \) è ottenuta scegliendo \(s \in S, t \in T \) e due aperti \( U,V \) tale che \( s \in U \) e \(t \in V \) tale che \( U \approx \operatorname{Int}(D^2) \approx V \) e costruiamo dunque \[ (S \setminus U \coprod T \setminus V ) / x \sim f(x) \]
dove \( f: \partial U \xrightarrow{\approx} S^1 \xrightarrow{\approx} \partial V \)
Esempio: \( S \# S^2 = S \). Dove \(S ...
a)Sia \((A,a_0) \) uno spazio connesso per archi ben puntato e \( (B,b_0) \) uno spazio puntato.
Dimostra che hanno il tipo d'omotopia del wedge \(A \vee B \) non dipende dalla scelta del punto di base di \(A\).
b) Sia \(X \) il sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) formato dai punti \(0\) e \( 1/n \) per tutti gli interi \( n \geq 1 \). Dimostra che il wedge \( X \vee X \) non ha lo stesso tipo di omotopia se scegliamo \(0\) o \(1 \) come punto di base.
Per il punto a) non capisco due ...
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