Endomorfismi e autovettori
Ciao a tutti, sto avendo molta difficoltà con gli esercizi di Geometria e algebra, non riesco a risolvere quelli parametrici.
Stavo cercando di risolvere questo tipo di esercizio ma non so come procedere. Potreste aiutarmi? Grazie!
Stavo cercando di risolvere questo tipo di esercizio ma non so come procedere. Potreste aiutarmi? Grazie!
Risposte
Ma nemmeno un'idea?
Per capire come si comporta l'endomorfismo, al minimo uno calcola il $det(A)$
Se scopre che il determinate è sempre diverso da zero (quindi non dipende da k), cosa ne deduce?
Per il secondo punto...io fisserei attentamente la matrice. Mmm, mi dice qualcosa...
Per capire come si comporta l'endomorfismo, al minimo uno calcola il $det(A)$
Se scopre che il determinate è sempre diverso da zero (quindi non dipende da k), cosa ne deduce?
Per il secondo punto...io fisserei attentamente la matrice. Mmm, mi dice qualcosa...
Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?
Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.
Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.
"Alessia00Ma":
Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?
Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.
"Alessia00Ma":
Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.
Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$
...continua da qua.
"Bokonon":
[quote="Alessia00Ma"]Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?
Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.
"Alessia00Ma":
Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.
Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$
...continua da qua.[/quote]
Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?
Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!
"Alessia00Ma":
Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?
Esatto.
Extra credits question...per quali valori di k ci sono due radici coincidenti?
"Alessia00Ma":
Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!
Non è finita...l'esercizio ti chiede di trovare anche la base di autovettori
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