Curiosità teorica su prodotto scalare non canonico e prodotto vettoriale.
Ciao a tutti, ho una domanda riguardante il prodotto vettoriale in un sottospazio il cui prodotto scalare non è canonico.
Alcuni giorni fa durante un esame ho trovato un esercizio che mi chiedeva di trovare un una base (di un sottospazio di dimensione 3) ortogonale secondo un prodotto scalare non canonico. Il procedimento corretto da fare penso fosse l' Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, tuttavia al terzo vettore mi sono trovato uno 0 ad un denominatore e quindi impossibilitato ad eseguire l algoritmo, mancava poco tempo e anziché ricominciare con altri vettori ho optato per il prodotto vettoriale tra i due vettori già trovati affinché trovassi un terzo vettore ortogonale ad entrambi con la consapevolezza di avere probabilmente sbagliato; sorpresa sorpresa quando ci hanno rivelato i punteggi degli esercizi mi sono ritrovato con il punteggio pieno in quel esercizio.
A causa del epidemia in corso non ho la possibilità di vedere il compito e mi domando se fosse quini una svista del professore o il procedimento fosse giusto.
La domanda è quindi la seguente: l' ortogonalità del prodotto vettoriale è data solo nel caso in cui il prodotto scalare sia canonico, in tutti casi o in casi particolari( come ad esempio il segno del prodotto scalare)?
Alcuni giorni fa durante un esame ho trovato un esercizio che mi chiedeva di trovare un una base (di un sottospazio di dimensione 3) ortogonale secondo un prodotto scalare non canonico. Il procedimento corretto da fare penso fosse l' Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, tuttavia al terzo vettore mi sono trovato uno 0 ad un denominatore e quindi impossibilitato ad eseguire l algoritmo, mancava poco tempo e anziché ricominciare con altri vettori ho optato per il prodotto vettoriale tra i due vettori già trovati affinché trovassi un terzo vettore ortogonale ad entrambi con la consapevolezza di avere probabilmente sbagliato; sorpresa sorpresa quando ci hanno rivelato i punteggi degli esercizi mi sono ritrovato con il punteggio pieno in quel esercizio.
A causa del epidemia in corso non ho la possibilità di vedere il compito e mi domando se fosse quini una svista del professore o il procedimento fosse giusto.
La domanda è quindi la seguente: l' ortogonalità del prodotto vettoriale è data solo nel caso in cui il prodotto scalare sia canonico, in tutti casi o in casi particolari( come ad esempio il segno del prodotto scalare)?
Risposte
Ti stai chiedendo come dipende il prodotto vettoriale \(\_\land\_ \colon \bigwedge^1(K^3)\otimes \bigwedge^1(K^3) \to \bigwedge^2(K^3)\cong \bigwedge^1(K^3)\) dalla scelta di una base \(\mathcal E\) di \(K^3\), e in particolare se sia ancora vero che, detto \(v\land_{\cal E}w\) il prodotto vettoriale rispetto ad \(\mathcal E\), valga l'inclusione \( \langle w\land_{\mathcal E}w \rangle \le \langle v,w\rangle^\perp\)?
La risposta è che dipende: sì, se la base \(\mathcal E\) è la base ortogonale di un prodotto scalare su $K^3$ (sei sempre in questo caso o no?), definisci
\[
v\land_{\cal E} w :=
\begin{vmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}
\] e infine per "ortogonale" intendi quello definito dall'identificazione che, mediante \(\mathcal E\), si ha tra \(K^3\) e il suo duale. Probabilmente alcune relazioni che coinvolgono il prodotto vettoriale cambiano un po', per esempio la formula di Lagrange o altro; tipo, mi aspetto che \(\|v\land_{\cal E} w\| = |\det E|^2 \|v\land w\|\) dove \(E\) è la matrice con colonne la base \(\mathcal E\), o qualcosa di molto simile.
La risposta è che dipende: sì, se la base \(\mathcal E\) è la base ortogonale di un prodotto scalare su $K^3$ (sei sempre in questo caso o no?), definisci
\[
v\land_{\cal E} w :=
\begin{vmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}
\] e infine per "ortogonale" intendi quello definito dall'identificazione che, mediante \(\mathcal E\), si ha tra \(K^3\) e il suo duale. Probabilmente alcune relazioni che coinvolgono il prodotto vettoriale cambiano un po', per esempio la formula di Lagrange o altro; tipo, mi aspetto che \(\|v\land_{\cal E} w\| = |\det E|^2 \|v\land w\|\) dove \(E\) è la matrice con colonne la base \(\mathcal E\), o qualcosa di molto simile.
"solaàl":
Ti stai chiedendo come dipende il prodotto vettoriale \(\_\land\_ \colon \bigwedge^1(K^3)\otimes \bigwedge^1(K^3) \to \bigwedge^2(K^3)\cong \bigwedge^1(K^3)\) dalla scelta di una base \(\mathcal E\) di \(K^3\), e in particolare se sia ancora vero che, detto \(v\land_{\cal E}w\) il prodotto vettoriale rispetto ad \(\mathcal E\), valga l'inclusione \( \langle w\land_{\mathcal E}w \rangle \le \langle v,w\rangle^\perp\)?
La risposta è che dipende: sì, se la base \(\mathcal E\) è la base ortogonale di un prodotto scalare su $K^3$ (sei sempre in questo caso o no?), definisci
\[
v\land_{\cal E} w :=
\begin{vmatrix}
e_1 & e_2 & e_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}
\] e infine per "ortogonale" intendi quello definito dall'identificazione che, mediante \(\mathcal E\), si ha tra \(K^3\) e il suo duale. Probabilmente alcune relazioni che coinvolgono il prodotto vettoriale cambiano un po', per esempio la formula di Lagrange o altro; tipo, mi aspetto che \(\|v\land_{\cal E} w\| = |\det E|^2 \|v\land w\|\) dove \(E\) è la matrice con colonne la base \(\mathcal E\), o qualcosa di molto simile.
Scusa ma non ho capito la tua risposta, la domanda era semplicemente se dato un prodotto scalare non canonico ( chiamiamolo "n.c.") e due vettori, il vettore individuato tramite il prodotto vettoriale è ortogonale (ai 2 vettori usati per l operazione) secondo n.c. o unicamente secondo il prodotto scalare canonico
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