Matrice cambio di basa
Date due basi B e B’ associate ad una stessa applicazione lineare, è corretto affermare che la matrice del cambio di base è quella matrice che ha per colonne le coordinate della base di partenza, rispetto alla nuova base?
Es. Se ho $x’=Dx$ la matrice D ha per colonne le coordinate di x, rispetto x’.
Se non fosse così, potreste spiegarmi come determinare la matrice del cambio di base?
Grazie
Es. Se ho $x’=Dx$ la matrice D ha per colonne le coordinate di x, rispetto x’.
Se non fosse così, potreste spiegarmi come determinare la matrice del cambio di base?
Grazie
Risposte
Che vuol dire che "due basi sono associate ad una stessa applicazione"?
Non mi sono espresso bene, intendo ad esempio che la matrice A rappresenta un’applicazione lineare rispetto una base B.
Vorrei sapere come determinare la matrice che consente di passare alla base B’.
Vorrei sapere come determinare la matrice che consente di passare alla base B’.
“Un’applicazione” quale?
Una a casaccio?
Una base $B$ di quale spazio (dominio o codominio)?
Una base $B’$ di quale spazio (dominio o codominio)?
Dai, spiega bene cosa vuoi sapere, o proponi un esempio concreto.
Una a casaccio?
Una base $B$ di quale spazio (dominio o codominio)?
Una base $B’$ di quale spazio (dominio o codominio)?
Dai, spiega bene cosa vuoi sapere, o proponi un esempio concreto.
Facciamo così, riusciresti gentilmente a spiegarmi brevemente come determinare la matrice del cambio di base?
Grazie
Grazie
Sono sicuro che per questo basti andarsi a leggere il testo... Ma non è questo il problema.
Innanzitutto, il problema è "dire bene" le cose: se chi ti ascolta/legge non comprende cosa tu chiedi/affermi, come pretendi che un colloquio d'esame, un'interazione sul lavoro, una relazione personale, etc. funzionino bene come vorresti?
Quando parli/scrivi affinché qualcun altro ti risponda, devi impegnarti a parlare/scrivere in modo che l'altro capisca.
Il secondo problema (come evidenziato nei thread in Analisi) è "fare i calcoli" da solo, almeno su esempi banali.
Chiarito ciò, hai uno spazio vettoriale $mathbb(V)$ di dimensione finita $n$ su un certo campo $mathbb(K)$.
In $mathbb(V)$ fissi due basi, $B=\{ mathbf(e)_1, ..., mathbf(e)_n \}$ e $B^\prime =\{ mathbf(e)_1^\prime , ..., mathbf(e)_n^\prime \}$ (che, per noti teoremi[nota]Se non ti sono noti, devi andarteli a studiare.
Questo vale ogni volta che incontri la locuzione "per noti teoremi" o scritture equivalenti.[/nota], esistono e contengono lo stesso numero $n$ di elementi), le quali ti consentono di rappresentare i vettori di $mathbb(V)$ sfruttando i vettori numerici di $mathbb(K)^n$ attraverso i due isomorfismi $c_B, c_(B^\prime): mathbb(V) -> mathbb(K)^n$ che vengono detti coordinazioni (o sistemi di coordinate) associate alle basi $B$ e $B^\prime$ rispettivamente; in particolare, scelto $mathbf(v) in mathbb(V)$ (per noti teoremi) esistono e sono univocamente determinate due $n$-uple di scalari $x=(x_1, ..., x_n), x^\prime =(x_1^\prime, ..., x_n^\prime) in mathbb(K)^n$ tali che:
$mathbf(v) = x_1 mathbf(e)_1 + ... + x_n mathbf(e)_n = x_1^\prime mathbf(e)_1^\prime + ... + x_n^\prime mathbf(e)_n^\prime$,
quindi si pone per definizione:
$c_B (mathbf(v)) := (x_1, ..., x_n) = x$ e $c_(B^\prime) (mathbf(v)) := (x_1^\prime , ..., x_n^\prime ) = x^\prime$.
Rappresentare i vettori "astratti" di $mathbb(V)$ come vettori numerici di $mathbb(K)^n$ ti consente anche di rappresentare le applicazioni di $mathbb(V)$ in sé mediante numeri.
In particolare, scegli un'applicazione lineare $f: mathbb(V) -> mathbb(V)$. Fissate le basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio) esiste un'unica applicazione lineare $phi: mathbb(K)^n -> mathbb(K)^n$ tale che:
$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = phi (c_B(mathbf(v)))$;[nota]Se vuoi sapere chi è $phi$ basta calcolarlo esplicitamente sfruttando un diagramma; in particolare trovi $phi(x) := c_(B^\prime)(f(c_B^(-1) (x)))$.[/nota]
per un noto teorema, esiste un'unica matrice quadrata $F=(f_(i,j)) in M_(n xx n)(mathbb(K))$ tale che:
$AA x in mathbb(K)^n,\ phi (x) = F * x^t$,
quindi la precedente si riscrive:
$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = F * c_B^t (mathbf(v))$
e si dice che $F$ rappresenta la funzione $f$ rispetto alle basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio).[nota]Questo discorso, pari pari, uguale, si ripete nella situazione generale, cioè per applicazioni lineari $ f: mathbb(V) -> mathbb(W)$ in cui $dim mathbb(V) =n$ e $dim mathbb(W) = m$. In tal caso, ovviamente, scelte una base $B$ nel dominio ed una base $B^\prime$ nel codominio, la $f$ è rappresentata da una matrice $F in M_(m xx n)(mathbb(K))$ che ha per colonne le coordinate rispetto alla base del codominio delle immagini dei vettori della base del dominio.[/nota]
Il discorso precedente lo puoi fare per ogni $f$ che sia lineare; in particolare lo puoi ripetere per l'identità $i:=text(id)_mathbb(V)$, cioè per l'applicazione che ad ogni $mathbf(v) in mathbb(V)$ associa se stesso. Dunque esiste un'unica matrice $D in M_(n xx n)(mathbb(K))$ tale che:
$c_(B^\prime)(i(mathbf(v))) = D * c_B^t(mathbf(v))$,
ossia tale che:
$c_(B^\prime)(mathbf(v)) = D * c_B^t(mathbf(v))$
cioè:
$x^\prime = D * x^t$
con le notazioni introdotte all'inizio.
Quindi la matrice $D$ (che rappresenta $i$ rispetto alle basi scelte) consente di calcolare le coordinate $x^\prime$ del generico vettore $mathbf(v) in mathbb(V)$ rispetto a $B^\prime$ conoscendo le sue coordinate $x$ rispetto alla base $B$, ossia $D$ è la matrice del cambiamento di base da $B$ in $B^\prime$.
Ora, visto che $D$ è una matrice che rappresenta un'applicazione lineare (l'identità $i$), per noti teoremi, $D$ ha come colonne le coordinate rispetto alla base $B^\prime$ (fissata nel codominio) delle immagini dei vettori della base $B$ (fissata nel dominio); perciò $D$ ha come colonne i vettori:
$d_j = c_(B^\prime) (i(mathbf(e)_j)) = c_(B^\prime)(mathbf(e)_j)$ per $j=1, ..., n$.
Innanzitutto, il problema è "dire bene" le cose: se chi ti ascolta/legge non comprende cosa tu chiedi/affermi, come pretendi che un colloquio d'esame, un'interazione sul lavoro, una relazione personale, etc. funzionino bene come vorresti?
Quando parli/scrivi affinché qualcun altro ti risponda, devi impegnarti a parlare/scrivere in modo che l'altro capisca.
Il secondo problema (come evidenziato nei thread in Analisi) è "fare i calcoli" da solo, almeno su esempi banali.
Chiarito ciò, hai uno spazio vettoriale $mathbb(V)$ di dimensione finita $n$ su un certo campo $mathbb(K)$.
In $mathbb(V)$ fissi due basi, $B=\{ mathbf(e)_1, ..., mathbf(e)_n \}$ e $B^\prime =\{ mathbf(e)_1^\prime , ..., mathbf(e)_n^\prime \}$ (che, per noti teoremi[nota]Se non ti sono noti, devi andarteli a studiare.
Questo vale ogni volta che incontri la locuzione "per noti teoremi" o scritture equivalenti.[/nota], esistono e contengono lo stesso numero $n$ di elementi), le quali ti consentono di rappresentare i vettori di $mathbb(V)$ sfruttando i vettori numerici di $mathbb(K)^n$ attraverso i due isomorfismi $c_B, c_(B^\prime): mathbb(V) -> mathbb(K)^n$ che vengono detti coordinazioni (o sistemi di coordinate) associate alle basi $B$ e $B^\prime$ rispettivamente; in particolare, scelto $mathbf(v) in mathbb(V)$ (per noti teoremi) esistono e sono univocamente determinate due $n$-uple di scalari $x=(x_1, ..., x_n), x^\prime =(x_1^\prime, ..., x_n^\prime) in mathbb(K)^n$ tali che:
$mathbf(v) = x_1 mathbf(e)_1 + ... + x_n mathbf(e)_n = x_1^\prime mathbf(e)_1^\prime + ... + x_n^\prime mathbf(e)_n^\prime$,
quindi si pone per definizione:
$c_B (mathbf(v)) := (x_1, ..., x_n) = x$ e $c_(B^\prime) (mathbf(v)) := (x_1^\prime , ..., x_n^\prime ) = x^\prime$.
Rappresentare i vettori "astratti" di $mathbb(V)$ come vettori numerici di $mathbb(K)^n$ ti consente anche di rappresentare le applicazioni di $mathbb(V)$ in sé mediante numeri.
In particolare, scegli un'applicazione lineare $f: mathbb(V) -> mathbb(V)$. Fissate le basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio) esiste un'unica applicazione lineare $phi: mathbb(K)^n -> mathbb(K)^n$ tale che:
$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = phi (c_B(mathbf(v)))$;[nota]Se vuoi sapere chi è $phi$ basta calcolarlo esplicitamente sfruttando un diagramma; in particolare trovi $phi(x) := c_(B^\prime)(f(c_B^(-1) (x)))$.[/nota]
per un noto teorema, esiste un'unica matrice quadrata $F=(f_(i,j)) in M_(n xx n)(mathbb(K))$ tale che:
$AA x in mathbb(K)^n,\ phi (x) = F * x^t$,
quindi la precedente si riscrive:
$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = F * c_B^t (mathbf(v))$
e si dice che $F$ rappresenta la funzione $f$ rispetto alle basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio).[nota]Questo discorso, pari pari, uguale, si ripete nella situazione generale, cioè per applicazioni lineari $ f: mathbb(V) -> mathbb(W)$ in cui $dim mathbb(V) =n$ e $dim mathbb(W) = m$. In tal caso, ovviamente, scelte una base $B$ nel dominio ed una base $B^\prime$ nel codominio, la $f$ è rappresentata da una matrice $F in M_(m xx n)(mathbb(K))$ che ha per colonne le coordinate rispetto alla base del codominio delle immagini dei vettori della base del dominio.[/nota]
Il discorso precedente lo puoi fare per ogni $f$ che sia lineare; in particolare lo puoi ripetere per l'identità $i:=text(id)_mathbb(V)$, cioè per l'applicazione che ad ogni $mathbf(v) in mathbb(V)$ associa se stesso. Dunque esiste un'unica matrice $D in M_(n xx n)(mathbb(K))$ tale che:
$c_(B^\prime)(i(mathbf(v))) = D * c_B^t(mathbf(v))$,
ossia tale che:
$c_(B^\prime)(mathbf(v)) = D * c_B^t(mathbf(v))$
cioè:
$x^\prime = D * x^t$
con le notazioni introdotte all'inizio.
Quindi la matrice $D$ (che rappresenta $i$ rispetto alle basi scelte) consente di calcolare le coordinate $x^\prime$ del generico vettore $mathbf(v) in mathbb(V)$ rispetto a $B^\prime$ conoscendo le sue coordinate $x$ rispetto alla base $B$, ossia $D$ è la matrice del cambiamento di base da $B$ in $B^\prime$.
Ora, visto che $D$ è una matrice che rappresenta un'applicazione lineare (l'identità $i$), per noti teoremi, $D$ ha come colonne le coordinate rispetto alla base $B^\prime$ (fissata nel codominio) delle immagini dei vettori della base $B$ (fissata nel dominio); perciò $D$ ha come colonne i vettori:
$d_j = c_(B^\prime) (i(mathbf(e)_j)) = c_(B^\prime)(mathbf(e)_j)$ per $j=1, ..., n$.
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