Equazioni cartesiane e parametriche del piano
Ragazzi ho qualche difficoltà a capire come si risolve un esercizio simile:
In $A^3$, scrivere le equazioni cartesiane del piano passante per P0 (1,0,1) e contenente la retta per P1 (1,2,2) e P2(3,1,3).
Il professore esegue il seguente passaggio:
$\{(x=1+t a1 +s a2),(y=0 + t b1 + s b2),(z=1+ t c1 + s c2):}$ Questo se la direzione del piano è v1= (a1, b1, c1) e v2=(a2,b2,c2).
Le direzioni sono quindi v1= P1 - P0= (0,2,1) e v2= P2 - P0 = (2,1,2) Per quale motivo sono queste le direzioni??
e poi scrive le equazioni parametriche : $\{(x=1+2s),(y=2t+s),(z=1+t+2s):}$
Non riesco a capire, dopo, come si trovano le equazioni cartesiane del piano!! Che differenza c'è tra equazione parametrica e cartesiana?
Ringrazio tutti!!
In $A^3$, scrivere le equazioni cartesiane del piano passante per P0 (1,0,1) e contenente la retta per P1 (1,2,2) e P2(3,1,3).
Il professore esegue il seguente passaggio:
$\{(x=1+t a1 +s a2),(y=0 + t b1 + s b2),(z=1+ t c1 + s c2):}$ Questo se la direzione del piano è v1= (a1, b1, c1) e v2=(a2,b2,c2).
Le direzioni sono quindi v1= P1 - P0= (0,2,1) e v2= P2 - P0 = (2,1,2) Per quale motivo sono queste le direzioni??
e poi scrive le equazioni parametriche : $\{(x=1+2s),(y=2t+s),(z=1+t+2s):}$
Non riesco a capire, dopo, come si trovano le equazioni cartesiane del piano!! Che differenza c'è tra equazione parametrica e cartesiana?
Ringrazio tutti!!
Risposte
Ciao. In pratica, in forma parametrica scrivi il piano come l'insieme dei punti $P$ tali che il vettore $\vec(P_0P)$ sia combinazione lineare, dove $t$ ed $s$ sono i coefficienti generici della combinazione, dei due vettori $\vec(P_0P_1)$, $\vec(P_0P_2)$, il che equivale a dire che il piano contiene i tre punti $P_0, P_1, P_2$, o, se preferisci, i vettori $\vec(P_0P_1)$, $\vec(P_0P_2)$. Questo nel tuo caso si traduce in :
$ x-1=t(1-1)+s(3-1)$,
$ y-0=t(2-0)+s(1-0)$,
$ z -1=t(2-1)+s(3-1)$.
Da cui le tre equazioni parametriche nelle 5 variabili, le tre coordinate e i due parametri.
Passi alla forma cartesiana eliminando dal sistema i due parametri, e ottenendo due equazioni nelle 3 variabili $x,y,z$.
$ x-1=t(1-1)+s(3-1)$,
$ y-0=t(2-0)+s(1-0)$,
$ z -1=t(2-1)+s(3-1)$.
Da cui le tre equazioni parametriche nelle 5 variabili, le tre coordinate e i due parametri.
Passi alla forma cartesiana eliminando dal sistema i due parametri, e ottenendo due equazioni nelle 3 variabili $x,y,z$.
come faccio a trovare le equazioni cartesiane quindi?
Ciao. Te l'ho detto, elimini i due parametri dal sistema di tre equazioni.
Per esempio, partendo dall'ultimo sistema che hai scritto: $\{(x=1+2s),(y=2t+s),(z=1+t+2s):}$__, ricavi $s$ dalla prima equazione e sostituisci
nelle altre due; a questo punto dalla terza ricavi $t$ e sostituisci nella seconda, dopo di che non consideri più le equazioni che contengono i parametri; quello che ti rimane è un'equazione (cartesiana) soltanto in $x,y,z$.
P.S.: ho sbagliato io prima, l'equazione cartesiana di una superficie è una soltanto, non un sistema di due come erroneamente ho scritto nel post precedente.
Per esempio, partendo dall'ultimo sistema che hai scritto: $\{(x=1+2s),(y=2t+s),(z=1+t+2s):}$__, ricavi $s$ dalla prima equazione e sostituisci
nelle altre due; a questo punto dalla terza ricavi $t$ e sostituisci nella seconda, dopo di che non consideri più le equazioni che contengono i parametri; quello che ti rimane è un'equazione (cartesiana) soltanto in $x,y,z$.
P.S.: ho sbagliato io prima, l'equazione cartesiana di una superficie è una soltanto, non un sistema di due come erroneamente ho scritto nel post precedente.
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