Trasformazioni lineari

[plo87]

Magari sarà banale, ma non riesco proprio a capire:
Allora sapendo che avendo due spazi vettoriali: V e W si dice che $T: V \to W $ è un 'applicazione lineare di V in W se per ogni u, v $in$ W e per ogni $\alpha$ $in K$ (campo):
1) T(u+v)=T(u)+T(v);
2)T( $\alpha$ *u)=$\alpha$ * T(u)

come faccio a dire che prendendo due trasformazioni T: $R^2$ $\to$ $R^2$ definite come:
1)(x,y)$\to$(4x+y,y-x)
2)(x,y)$\to$(x+1,x-y)

la prima è lineare e la seconda non è lineare?
Più in generale come faccio a vedere se un'applicazione è lineare o meno?
Vi ringrazio anticipatamente!!

[Seneca1]

"plo87":Più in generale come faccio a vedere se un'applicazione è lineare o meno?

Applicando la definizione che hai scritto sopra.

Verifico che non vale la linearità per la seconda applicazione che hai scritto.

$L(v + w) = L(v_1 + w_1 , v_2 + w_2) = (v_1 + w_1 + 1 , v_1 + w_1 - v_2 - w_2 ) =$
$(v_1 + 1 , v_1 - v_2) + (w_1 + 1, w_1 - w_2) + (-1 , 0) = L(v) + L(w) + (-1 , 0)$

Quindi non è lineare perché compare $(-1 , 0)$ oltre a $L(v) + L(w)$.

[plo87]

non credo di aver capito bene come si applica la teoria alla pratica, comunque nel caso avessi capito non dovrebbe essere così?
\( \displaystyle {L}{\left({v}+{w}\right)}={L}{\left({v}_{{1}}+{w}_{{1}},{v}_{{2}}+{w}_{{2}}\right)}={\left({v}_{{1}}+{w}_{{1}}+{1}+{1},{v}_{{1}}+{w}_{{1}}-{v}_{{2}}-{w}_{{2}}\right)}= \)
\( \displaystyle {\left({v}_{{1}}+{1},{v}_{{1}}-{v}_{{2}}\right)}+{\left({w}_{{1}}+{1},{w}_{{1}}-{w}_{{2}}\right)}+{\left(-{1},{0},{0}\right)}={L}{\left({v}\right)}+{L}{\left({w}\right)}+{\left(-{1},{0},{0}\right)} \)

[Seneca1]

No... La legge con cui è definita $L$ ti dice che come prima componente del vettore immagine di un vettore $X$ mediante $L$ devi prendere la prima componente di $X$ e sommarci $1$.

In questo caso $X = v + w = (v_1 + w_1 , v_2 + w_2)$ e $L(X) = ( v_1 + w_1 + 1 , ...$

P.S.: Nota che, nei passaggi del post precedente, ho aggiunto e sottratto $1$ per ricostruirmi $L(v)$ ed $L(w)$ ed esplicitare "il pezzo parassita" che è $(-1 , 0)$. $L$ è un'applicazione affine.

EDIT: Ho corretto una svista, sostituendo $(-1 , 0 , 0)$ con $(-1 , 0)$.