Basi e dimensioni

[smaug1]

Ragazzi domanda banale, però vorrei lo stesso farvela. Allora le basi di $U$ e $W$ so trovarmele e quindi le relative dimensioni. Poi per c) io metto in una matrice i vettori in colonna delle due basi e vedo il valore del rango che mi dice il valore della dimensione $U + W$ (EDIT)

Invece il punto b) posso farlo come segue?

trovo le cordinate del vettore generico di $U$ che sarebbero $(0,a,a,b)$ che messe nelle equazioni cartesiane trovo che $a = 0$ e quindi? cosa posso concludere?

Poi se volessi trovare le equazioni parametrice e cartesiane di $U$ come posso fare?

Grazie

[Obidream]

Provo a rispondere io ma non sono sicuro!

Io applicherei la formula di Grassman:

$dim(U+V)=dimV+dimU-dim(U nn V)$

Per la base di $U$ farei così:
$rk((0,1,1,0),(0,0,0,1))=2=dimU$ ed una base è: ${(0,1,1,0),(0,0,0,1)}$

Per la base e la dimensione di $V$:
$\{(x+y=0),(z=2x):}$

$\{(x=-y),(z=-2y):}$

soluzioni che dipendono da 1 parametri($y=a$):
${(-a),(-2a)}$

${a(-1,0,-2,0)}$

Quindi direi $dimV=1$

Conviene calcolare la dimensione della somma mettendo in riga su una matrice le basi e ridurla; il rango sarà la dimensione e le righe che ti rimangono le prendi come basi. A quel punto applichi Grassmann e vedi un po quanto viene la dimensione dell'intersezione ( se viene $0$ sei fortunato)
Vedi un po se ti torna tutto

[Sk_Anonymous]

"smaug":[...]
Poi se volessi trovare le equazioni parametrice e cartesiane di $U$ come posso fare?

Ma non ti pare che siano (le parametriche) già nella definizione di quel sottospazio?

[smaug1]

@Delirium ah si certo, invece quelle cartesiane le ricavo da quelle?

@Obidream

Scusami per quanto riguarda il sottospazio $V$

$\{(x + y = 0 ),(z = 2x):}$ -> $\{(y = -x),(z = 2x):}$ quindi però dobbiamo fare attenzione che siamo in $\bb R^4$ quindi c'è anche un' altra variabile giusto? chiamiamola $w$

$\{(x = -t),(y = -t),(z = 2t),(w = s):}$ e quindi le equazioni non sarebbero:

$(x,y,z,w) = ((1,-1,2,0) t, (0,0,0,1) s)$ dimensione 2?

Grazie

[Sk_Anonymous]

"smaug":@Delirium ah si certo, invece quelle cartesiane le ricavo da quelle?
[...]

Certo, a meno che tu non sappia ricavarle ad occhio.

[smaug1]

ok dovrebbe essere $\{(x_1 = 0 ),(x_2 = x_3):}$ giusto?

[Obidream]

"smaug":
@Obidream

Scusami per quanto riguarda il sottospazio $V$

$\{(x + y = 0 ),(z = 2x):}$ -> $\{(y = -x),(z = 2x):}$ quindi però dobbiamo fare attenzione che siamo in $\bb R^4$ quindi c'è anche un' altra variabile giusto? chiamiamola $w$

$\{(x = -t),(y = -t),(z = 2t),(w = s):}$ e quindi le equazioni non sarebbero:

$(x,y,z,w) = ((1,-1,2,0) t, (0,0,0,1) s)$ dimensione 2?

Grazie

Si, infatti non capivo cosa avevo dimenticato/sbagliato mentre uscivo di casa.. il rango della matrice è $2$ quindi essendo 4 le incognite le soluzioni dipendono da $4-2$ parametri

[Obidream]

Io per cercare di fare meno conti proverei a calcolare base e e dimensione di $U+V$.. in pratica da quel che ho capito se i vettori che formano le basi di $U$ e di $V$ sono tutti linearmente indipendenti il rango della matrice ottenuta mettendoli in riga sarà massimo ( e ci darà $dim(U+V)$).. Inoltre i vettori formeranno una base di $U+V$; a questo punto io proverei ad applicare la formula di Grassmann per vedere se la $dim(U nn V)$ è $0$.. a quel punto non cerco nemmeno le basi e risparmio conti.. Ti sembra sensato?