Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dato W sottospazio contenuto in R^4 e generato da $ {(1,2,1,0), (-1, 0, 2, 1), (4, 6, 1, -1)}$ il problema mi richiede la dimensione di W. Per calcolarmi la dimensione del sottospazio mi calcolo prima una base di W e poi osservo che , per il corollario al lemma di Steinitz, i vettori di una base hanno la stessa cardinalità. Quindì ponendo i vettori per colonna in una matrice,calcolandomi il rango di A (2) ottengo che la base è data da ${(1,2,1,0), (-1, 0, 2, 1)} $ e quindì la dimensione di W è 2. Conclusione legittima?
Ciao a tutti,eccomi ancora, bisognoso di aiuto!
Sia F :$R^5->R^4$ l’applicazione lineare tale che $f ((a, b, c, d, e)) = (2c – d, a + b, a + e, d – e)$ per ogni elemento $ (a, b, c, d, e)$ di $R^5$ .
Determinare la base di sottospazio $Ker F$ e $Im F$
Dunque, ho scritto la matrice: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2&-1&0 \\ 1 & 1 & 0&0&0 \\ 1 & 0 & 0&0&1 \\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix} \]
Riducendola a scalini è uscita: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&0&0 \\ 0 & -1 & ...
Si consideri il fascio di coniche:
$3x^2+y^2-alphax=0$ con $alpha in RR$
Si dimostri che nel fascio esistono piu' coniche degeneri.
Ho calcolato il determinante della matrice:
$|(3,0,-alpha/2),(0,1,0), (-alpha/2,0,0)| = -alpha^2/4$
quindi il fascio è degenere quando il determinante della matrice è nullo, cioè per $alpha=0$
per tale valore il fascio si riduce al solo punto reale $(0,0)$
contraddicendo l'affermazione iniziale.
Dove sbaglio?
Nello spazio euclideo determinare l’equazione della sfera tangente nell’origine al piano \(\displaystyle \pi : 5x − 5y − z = 0 \) con centro sul piano \(\displaystyle \pi' : x + y + 5z −5 = 0 \)
Allora io ho pensato di prendere un punto appartenente al piano \(\displaystyle \pi' \) e di considerarlo il centro della sfera,poi sapendo che l'altro piano è tangente nell'origine overo che il punto di tangenza sta nell'origine allora facendo il modulo del vettore direzione ottenuto dall punto ...
Buongiorno, ho iniziato alcuni esercizi sugli spazi vettoriali, presi dal mio eserciziario, che purtroppo su questo esercizio non mi da lo svolgimento ma solo la soluzione.
Vi propongo brevemente il testo dell'esercizio:
"In R^2 si definiscono le seguenti operazioni :
-somma: (x,y)+(x',y')=(x'+x', y+y,);
-prodotto: a(x,y)=(x|a|, y|a|).
Si dimostri che, con questa somma e questo prodotto, R^2 non è uno spazio vettoriale."
Essendo il primo esercizio di questo tipo che affronto ho qualche ...
Posto una mia risoluzione, Per vedere se ho capito..
Sia $F: R^4->R^2$
l’applicazione lineare tale che $f(a,b,c,d) = (a+b-c, a+c-d)$ per ogni elemento di $(a,b,c,d)$ di $R$
La mia matrice associata è:
$((1,1,-1,0),(1,0,1,-1))$
La riduco a scalini, e avrò che $Rango = 2$.
Questo significa che $dimImmF= 2$ --> Applicazione lineare è suriettiva.
$KerF= 2$ --> NON è iniettiva.
Per avere una base di KERF mi basta porre le righe linearmente indipendenti =0.
Impostando questo ...
Salve a tutti...ho il seguente endomorfismo di $ RR_2 [X]:f(a+bX+cX^2)=aX^2+bX+c $. E' giusto associare la seguente matrice $ ( ( c , 0 , 0 ),( 0 , b , 0 ),( 0 ,0 , a ) ) $ al seguente endomorfismo?
Assegnati nello spazio euclideo i punti \(\displaystyle A(0, 0, 0) \), \(\displaystyle B(−5, 0,−4) \),\(\displaystyle C(−10,−3, 0) \), determinare il punto \(\displaystyle D \) tale che il quadrilatero \(\displaystyle ABCD \)sia un parallelogramma.
vorrei sapere quale condizione dovrei mettere ai 3 punti affinchè insieme al punto \(\displaystyle D \) tutto diventa un parallelogramma?? Io ho provato risolverlo trovando 2 rette che passano per lo stesso punto ovvero per il punto ...
Ciao a tutti,volevo chiedere due cose..
Dato un'applicazione lineare cosi definita:
1) $ RR^3 -> RR^2 $
2) $ RR^2 -> RR^3 $
3) $ RR^3 -> RR^3 $
posso dire subito senza conoscere altro ,se le aplicaioni sono Surriettive ,Iniettive oppure biettive??
ps:data la matrice di rappresentazione ,so come fare.Volevo capire se era posssibile trarre delle conclusioni anche ad occhio.
2)Data una matrice:
$ RR^3( ( 1 , 1 ,1 ),( 2, 0 , 6 ),(2 ,1 ,4 ) ) $
Volevo una conferma su alcune cose che mi confondono.
Per trovare il ...
Ciao apro un nuovo post perché non ho trovato già una domanda simile (spero di aver cercato bene).
Data l'equazione \(\displaystyle (z+2)^2+y+2=0 \) che cosa rappresenta nello spazio a tre dimensioni?
1_Una sfera di raggio 4
2_Un cono di vertice l'origine
3_Una curva piana
4_Un cilindro
Ciao a tutti avrei bisogno di aiuto per capire come dimostrare che alcune delle risposte a questa affermazione sono false.
Premetto che ho risolto il quesito è so la risposta corretta ma, dovendo dimostrare anche quelle sbagliate, ho alcuni problemi nella loro comprensione.
Detto questo, vi scrivo la domanda e le risposte nella speranza che qualcuno di voi possa suggerirmi l'input per impostare la dimostrazione:
Domanda: Quale dei seguenti è uno spazio vettoriale??
1_ L'insieme dei vettori ...
Ciao!
Ho il seguente esempio:
Sia $f ~ : ~ RR^3 -> RR^3$ data da
$f((x,y,z)_B) = (x+y-z, ~ x-y+z, ~ 2x)_C$
dove $B = { (1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,1)_ }$ e $C$ è la base canonica.
Determinare $ker(f)$ e una sua base, i cui vettori siano espressi sia sulla base $B$ sia sulla base canonica $E$ di $RR^3$.
Dovrò risolvere il sistema lineare omogeneo $AX = 0$, quindi come prima cosa calcolo la matrice $A$ associata ad $f$ e alle basi ...
Determinare i valori del parametro reale \(\displaystyle h \) per i quali il sistema
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
\label{nomechevuoitu}
hx + y =1\\
50x + (h+5)y = 10
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
ammette una sola soluzione, infinite soluzioni, nessuna soluzione
per determinare queste tipologie di soluzioni mi sono affidato al teorema di Rouchè-Capelli ma incontro dei problemi di calcolo quando devo trovare il valore del parametro \(\displaystyle h \) per quale la matrice ...
Si consideri il piano euclideo ampliato con i punti impropri e sia $C$ la curva di equazione $2x^2+2y^2+2x+2y+1=0$.
Dire se:
a) $C$ è una circonferenza di centro $(1,1)$
b) $C$ è una ellisse, non una circonferenza
c) $C$ è una conica degenere
la $C$ non è una circonferenza perchè le coordinate del centro sarebbero $(-1/2,-1/2)$
esamino il determinante:
$I=|(2,0,1), (0,2,1), (1,1,1)|$
essendo $detI_3=-2$ e ...
Ciao!
Sono arrivato al capitolo 2.7 (matrici simili) delle dispense "algebra lineare for dummies".
In fondo a pagina 27 viene calcolata l'inversa della seguente matrice:
$N = [ ( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ]$
Il calcolo viene eseguito secondo questo principio (cit.):
b) costruisco una matrice che abbia per colonne le coordinate rispetto a B degli elementi di E
dove $B = {(1,1,0),(-1,0,1),(1,1,1)}$, mentre $E$ è la base canonica di $RR^3$.
Il risultato dell'operazione è:
$N^{-1} = [ ( -1 , 2 , -1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ) ]$
La prima ...
Buon pomeriggio a tutti! e sono ancora qui a fare le mie domande un po' stupide..
devo risolvere questo esercizio..
"Sia $F_B$ l'applicazione lineare coordinate rispetto alla base $B$. Dato $v_0$ , calcola $F_B$.
$V= RR_3 [t] $
$B={1 , t , t^2, t^3}$
$ v_0 = t^3 - t + 5 $"
beh ecco avendo $B$ e avendo $v_0$ avevo pensato di calcolare le coordinate..però non so se sia giusto e nel caso lo sia poi per trovare ...
Si consideri il piano euclideo ampliato con i punti impropri e sia $C$ la curva di equazione $x^2-y^3+x-y+1=0$.
Dire se:
a) Il punto improprio dell'asse delle $x$ appartiene a $C$
b) la retta $x-y=0$ è tangente a $C$ nell'origine
c) la retta $y=0$ è tangente a $C$
Avendo solo una leggera infarinatura sull'argomento, il quesito mi ha fatto sorgere parecchi dubbi e mi scuso in anticipo per le eventuali ...
Nello spazio euclideo determinare equazioni cartesiane della retta passante per P(-1,1,0) perpendicolare e incidente alla retta r: x+y-1=y+z=0.
Quali sono le condizioni che devo porre? io ho pensato di trovarmi i parametri direttori della retta r, scrivere poi la retta voluta facendola passare per P e metterla a sistema con la retta r. Può andar bene così?
Nel piano euclideo determinare i vettori liberi di modulo 5 paralleli alla retta r: 5x+6y=0.
mi scuso per non aver messo alcuna soluzione, ma non so da dove partire! Ringrazio in anticipo.
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