Dubbio: matrice associata ad applicazione lineare
Ciao!
Ho il seguente esempio:
Sia $f ~ : ~ RR^3 -> RR^3$ data da
$f((x,y,z)_B) = (x+y-z, ~ x-y+z, ~ 2x)_C$
dove $B = { (1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,1)_ }$ e $C$ è la base canonica.
Determinare $ker(f)$ e una sua base, i cui vettori siano espressi sia sulla base $B$ sia sulla base canonica $E$ di $RR^3$.
Dovrò risolvere il sistema lineare omogeneo $AX = 0$, quindi come prima cosa calcolo la matrice $A$ associata ad $f$ e alle basi $B$ e $C$.
Per calcolare $A$ mi attengo alla definizione di matrice associata, cioè:
$A = [( f(b_1) , f(b_2) , f(b_3) )] = [ ( 2,0,0 ) , ( 0,0,2 ) , ( 2,0,2 ) ]$
Il ragionamento che seguo è questo:
$f(b_1) = f((1,1,0)_) = (2,0,2)$
dove il terzo membro dell'equazione è l'immagine del vettore $b_1$ espresso sulla base canonica $E$, questo fatto mi permette di utilizzare direttamente il vettore ricavato (senza calcolarne le coordinate), in quanto sulla base $E$, vettore e vettore delle coordinate si equivalgono.
Detto questo, non capisco perché la soluzione della matrice sulle dispense sia:
$A = [ ( 1,1,-1 ) , ( 1,-1,1 ) , ( 2,0,0 ) ]$
Grazie!
Ho il seguente esempio:
Sia $f ~ : ~ RR^3 -> RR^3$ data da
$f((x,y,z)_B) = (x+y-z, ~ x-y+z, ~ 2x)_C$
dove $B = { (1,1,0) , (0,1,1) , (1,0,1)_ }$ e $C$ è la base canonica.
Determinare $ker(f)$ e una sua base, i cui vettori siano espressi sia sulla base $B$ sia sulla base canonica $E$ di $RR^3$.
Dovrò risolvere il sistema lineare omogeneo $AX = 0$, quindi come prima cosa calcolo la matrice $A$ associata ad $f$ e alle basi $B$ e $C$.
Per calcolare $A$ mi attengo alla definizione di matrice associata, cioè:
$A = [( f(b_1) , f(b_2) , f(b_3) )] = [ ( 2,0,0 ) , ( 0,0,2 ) , ( 2,0,2 ) ]$
Il ragionamento che seguo è questo:
$f(b_1) = f((1,1,0)_) = (2,0,2)$
dove il terzo membro dell'equazione è l'immagine del vettore $b_1$ espresso sulla base canonica $E$, questo fatto mi permette di utilizzare direttamente il vettore ricavato (senza calcolarne le coordinate), in quanto sulla base $E$, vettore e vettore delle coordinate si equivalgono.
Detto questo, non capisco perché la soluzione della matrice sulle dispense sia:
$A = [ ( 1,1,-1 ) , ( 1,-1,1 ) , ( 2,0,0 ) ]$
Grazie!
Risposte
Semplicemente $A$ è riferita alla base canonica e non a $B$ e $C$.
Ovviamente non cambia nulla, infatti se chiamo $A'$ la matrice da te calcolata, e faccio $A' ((lambda_1),(lambda_2),(lambda_3))=0$ ottengo il vettore delle componenti $(0,lambda_2,0)$, cioè i vettori del $kerf$ sono del tipo $(0,\lambda,\lambda)$. E così facendo passo attraverso le componenti rispetto alla base $B$.
Con la matrice $A$ delle dispense, vettori e componenti coincidono -essendo riferiti alla base canonica- ed ottieni direttamente i vettori della forma $y=z$ ovvero, come prima $(0,lambda,lambda)$.
Spero di esser stato chiaro
Ovviamente non cambia nulla, infatti se chiamo $A'$ la matrice da te calcolata, e faccio $A' ((lambda_1),(lambda_2),(lambda_3))=0$ ottengo il vettore delle componenti $(0,lambda_2,0)$, cioè i vettori del $kerf$ sono del tipo $(0,\lambda,\lambda)$. E così facendo passo attraverso le componenti rispetto alla base $B$.
Con la matrice $A$ delle dispense, vettori e componenti coincidono -essendo riferiti alla base canonica- ed ottieni direttamente i vettori della forma $y=z$ ovvero, come prima $(0,lambda,lambda)$.
Spero di esser stato chiaro
Grazie mille per la risposta!
Ho capito. Allora penso che ci sia un errore nelle mie dispense, cioè c'è scritto:
$A = M_f^{B,C} = [ ( 1,1,-1 ) , ( 1,-1,1 ) , ( 2,0,0 ) ]$
dove la nomenclatura al secondo membro dell'equazione sta ad indicare la matrice associata all'applicazione lineare $f ~ : ~ V -> W$ e alle basi $B$ e $C$, rispettivamente basi per $V$ e per $W$.
Invece ci dovrebbe essere scritto $M_f^{C,C}$ o, equivalentemente in questo caso, $M_f^{E,E}$.
Infatti calcolando $M_f^{E,E}$ trovo il risultato corretto.
Dico bene?
Proseguo con la soluzione dell'esempio.
Sviluppo il sistema $AX = 0$, riducendo $A$ per righe e trovo:
$S = {(0,a,a) : a in RR}$
cioè lo spazio delle soluzioni del sistema.
Ciò che ho trovato quindi è il generico vettore delle coordinate di tutti i vettori che moltiplicati per $A$ danno come risultato il vettore nullo. Siccome la matrice è associata ("in uscita") alla base canonica $E$, tale vettore di coordinate coincide con il vettore stesso.
Perciò una base di $ker(f)$ espressa sulla base $E$ è ad esempio $(0,1,1)$, dove ho posto $a = 1$.
Ancora una volta mi trovo in conflitto con le dispense, dove c'è scritto che il vettore $(0,1,1)$ è sì una base di $ker(f)$, ma espressa sulla base $B$ anziché $E$.
Questa cosa non mi è chiara. Come è possibile che il prodotto $AX$ generi un risultato (vettore di coordinate) espresso sulla base $B$, quando $A$ è associata alla base canonica $E$ (sia "in entrata" che "in uscita") e di conseguenza anche il vettore di coordinate $X$ deve essere espresso sulla base $E$ ?
Grazie!
Ho capito. Allora penso che ci sia un errore nelle mie dispense, cioè c'è scritto:
$A = M_f^{B,C} = [ ( 1,1,-1 ) , ( 1,-1,1 ) , ( 2,0,0 ) ]$
dove la nomenclatura al secondo membro dell'equazione sta ad indicare la matrice associata all'applicazione lineare $f ~ : ~ V -> W$ e alle basi $B$ e $C$, rispettivamente basi per $V$ e per $W$.
Invece ci dovrebbe essere scritto $M_f^{C,C}$ o, equivalentemente in questo caso, $M_f^{E,E}$.
Infatti calcolando $M_f^{E,E}$ trovo il risultato corretto.
Dico bene?
Proseguo con la soluzione dell'esempio.
Sviluppo il sistema $AX = 0$, riducendo $A$ per righe e trovo:
$S = {(0,a,a) : a in RR}$
cioè lo spazio delle soluzioni del sistema.
Ciò che ho trovato quindi è il generico vettore delle coordinate di tutti i vettori che moltiplicati per $A$ danno come risultato il vettore nullo. Siccome la matrice è associata ("in uscita") alla base canonica $E$, tale vettore di coordinate coincide con il vettore stesso.
Perciò una base di $ker(f)$ espressa sulla base $E$ è ad esempio $(0,1,1)$, dove ho posto $a = 1$.
Ancora una volta mi trovo in conflitto con le dispense, dove c'è scritto che il vettore $(0,1,1)$ è sì una base di $ker(f)$, ma espressa sulla base $B$ anziché $E$.
Questa cosa non mi è chiara. Come è possibile che il prodotto $AX$ generi un risultato (vettore di coordinate) espresso sulla base $B$, quando $A$ è associata alla base canonica $E$ (sia "in entrata" che "in uscita") e di conseguenza anche il vettore di coordinate $X$ deve essere espresso sulla base $E$ ?
Grazie!
Sarà un svista. Il Ker è generato dal vettore che dici. Che non è un vettore di coordinate riferite alla base $B$ in quanto il vettore $(1,1,2)$ non ha immagine nulla.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo