Dubbio: una base di $Im F$
Ciao a tutti,eccomi ancora, bisognoso di aiuto!
Sia F :$R^5->R^4$ l’applicazione lineare tale che $f ((a, b, c, d, e)) = (2c – d, a + b, a + e, d – e)$ per ogni elemento $ (a, b, c, d, e)$ di $R^5$ .
Determinare la base di sottospazio $Ker F$ e $Im F$
Dunque, ho scritto la matrice: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2&-1&0 \\ 1 & 1 & 0&0&0 \\ 1 & 0 & 0&0&1 \\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix} \]
Riducendola a scalini è uscita: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&0&0 \\ 0 & -1 & 0&0&1 \\ 0 & 0 & 2&-1&0 \\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix} \]
Quindi il rango della mia matrice è $Rg(A)=4$, e concludo che l'applicazione lineare è suriettiva (perchè $Rg(A)=dim ImF=dim(R^4)$, e NON è iniettiva, poichè $KerF=1$.
A questo punto, pongo tutte le righe linearmente indipendenti $=0$, per trovare una base di $KerF$, che è, ad esempio $v1(-1,2,1,2,2)$
Per quanto riguarda, invece, una Base di $Im F$, dovrei prendere le colonne della mia matrice che sono linearmente indipendenti?
Quindi, dovrei prenderle tutte e 5? Perchè a me sembrano linearmente indipendenti.
SALUTI!
Sia F :$R^5->R^4$ l’applicazione lineare tale che $f ((a, b, c, d, e)) = (2c – d, a + b, a + e, d – e)$ per ogni elemento $ (a, b, c, d, e)$ di $R^5$ .
Determinare la base di sottospazio $Ker F$ e $Im F$
Dunque, ho scritto la matrice: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2&-1&0 \\ 1 & 1 & 0&0&0 \\ 1 & 0 & 0&0&1 \\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix} \]
Riducendola a scalini è uscita: \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0&0&0 \\ 0 & -1 & 0&0&1 \\ 0 & 0 & 2&-1&0 \\ 0&0&0&1&-1 \end{pmatrix} \]
Quindi il rango della mia matrice è $Rg(A)=4$, e concludo che l'applicazione lineare è suriettiva (perchè $Rg(A)=dim ImF=dim(R^4)$, e NON è iniettiva, poichè $KerF=1$.
A questo punto, pongo tutte le righe linearmente indipendenti $=0$, per trovare una base di $KerF$, che è, ad esempio $v1(-1,2,1,2,2)$
Per quanto riguarda, invece, una Base di $Im F$, dovrei prendere le colonne della mia matrice che sono linearmente indipendenti?
Quindi, dovrei prenderle tutte e 5? Perchè a me sembrano linearmente indipendenti.
SALUTI!
Risposte
Molto più semplicemente: $dim(Im(F))=4=dim(RR^4)$, dunque...
Ah le basi di $Im F$ sono le basi canoniche di $R^4$?
Quante basi canoniche di $RR^4$ conosci?
$(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)$
Ecco i vettori!
Ecco i vettori!
Ma, in generale, per prendere i vettori di una base di $ImF$, dovrei prendere le colonne della Matrice, che sono linearmente indipendenti?
Caspita, e dov'è quella linearmente dipendente? Non la vedo!
P.s: ovviamente devo cercare nella amtrice di partenza, non quella che ho "modificato" per trovare il rango.
P.s: ovviamente devo cercare nella amtrice di partenza, non quella che ho "modificato" per trovare il rango.
nel mio caso non è identificabile?
CIoè, ritornando alla domanda iniziale, se mi viene chiesto di scrivere una base di $ImF$, cosa posso scrivere in questo caso?
Scusate per le mille domande!
CIoè, ritornando alla domanda iniziale, se mi viene chiesto di scrivere una base di $ImF$, cosa posso scrivere in questo caso?
Scusate per le mille domande!
Posso fare un piccolo "up"?
Volevo chiedere, con che criterio scelgo 4 delle 5 colonne della mia matrice?
Un saluto.
Volevo chiedere, con che criterio scelgo 4 delle 5 colonne della mia matrice?
Un saluto.
Il metodo più intuitivo ti è stato già suggerito....studiare la trasposta....ricorda che puoi sempre effettuare degli spostamenti di riga per facilitare la riduzione.... nel tuo caso una riga sicurmanete si annullerà... prendi i corrispondenti vettori iniziali dei vettori non nulli ed hai ottenuto una base per l'immagine.... in pratica hai dimostrato che è possibile esprimere 1 dei 5 vettori come combinazione lineare dei restanti 4.... infatti una base del kernel e data da....
$(-2e1+2e2+e3+2e4+2e5)$ infatti per esempio $v_1=v_2+1/2v3+v4+v5$.....
p.s. controlla bene la base del kernel da te trovata.... se applichi i coefficenti da te trovati non ottieni il vettore nullo!!
$(-2e1+2e2+e3+2e4+2e5)$ infatti per esempio $v_1=v_2+1/2v3+v4+v5$.....
p.s. controlla bene la base del kernel da te trovata.... se applichi i coefficenti da te trovati non ottieni il vettore nullo!!
Grazie mille! Era la risposta che mi serviva!
Grazie!!!!!!
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