Un risultato di algebra lineare utile in analisi funzionale
Salve a tutti.
Sto studiando un risultato di analisi funzionale che dice che un funzionale lineare $f$ definito su un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $X$ a valori in $\mathbb{K}$ è continuo rispetto alla topologia debole su $X$ definita da una famiglia di funzionali lineari $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$ (dove $A$ è un insieme di indici) se e solo se $f$ sta nello spazio vettoriale generato dalla famiglia $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$.
Il punto cruciale della dimostrazione usa in qualche maniera a me ignota un risultato del tipo teoremi di omomorfismo tra spazi vettoriali per dedurre l'equivalenza tra l'inclusione $\text{Ker}(f) \supseteq \bigcap_ {\alpha \in F} \text{Ker} f_{\alpha}$ per qualche $F\subseteq A$ finito, e il fatto che $f \in $.
Quale sarebbe questo teorema? E come si usa per dedurre tale equivalenza?
Grazie a tutti, ciao.
Sto studiando un risultato di analisi funzionale che dice che un funzionale lineare $f$ definito su un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $X$ a valori in $\mathbb{K}$ è continuo rispetto alla topologia debole su $X$ definita da una famiglia di funzionali lineari $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$ (dove $A$ è un insieme di indici) se e solo se $f$ sta nello spazio vettoriale generato dalla famiglia $(f_{\alpha})_{\alpha \in A}$.
Il punto cruciale della dimostrazione usa in qualche maniera a me ignota un risultato del tipo teoremi di omomorfismo tra spazi vettoriali per dedurre l'equivalenza tra l'inclusione $\text{Ker}(f) \supseteq \bigcap_ {\alpha \in F} \text{Ker} f_{\alpha}$ per qualche $F\subseteq A$ finito, e il fatto che $f \in
Quale sarebbe questo teorema? E come si usa per dedurre tale equivalenza?
Grazie a tutti, ciao.
Risposte
Non so se c'è un teorema. In ogni caso, una freccia dell'equivalenza è ovvia: se \(f\) è combinazione lineare degli \(f_\alpha\), allora \(f\) è nullo su \(\cap_\alpha \mathrm{ker} f_\alpha\).
L'altra freccia potresti dimostrarla così: fissa una base \(f_1,\ldots,f_n\) dello spazio di funzionali generato dagli \(f_\alpha\) e considera \(x_1,\ldots,x_n \in X\) tali che \(f_i(x_i) = 1\) per ogni \(i = 1,\ldots,n\). Dovrebbe accadere che
\[
X = \bigcap_{i=1}^n \mathrm{ker} f_i \oplus \langle x_1 \rangle \oplus \ldots \oplus \langle x_n \rangle
\]
A questo punto, se \(f\) è nullo su \(\cap_i \mathrm{ker} f_i\), hai
\[
f = \sum_{i=1}^n f(x_i)f_i
\]
L'altra freccia potresti dimostrarla così: fissa una base \(f_1,\ldots,f_n\) dello spazio di funzionali generato dagli \(f_\alpha\) e considera \(x_1,\ldots,x_n \in X\) tali che \(f_i(x_i) = 1\) per ogni \(i = 1,\ldots,n\). Dovrebbe accadere che
\[
X = \bigcap_{i=1}^n \mathrm{ker} f_i \oplus \langle x_1 \rangle \oplus \ldots \oplus \langle x_n \rangle
\]
A questo punto, se \(f\) è nullo su \(\cap_i \mathrm{ker} f_i\), hai
\[
f = \sum_{i=1}^n f(x_i)f_i
\]
Ciao Elvis, grazie mille per la risposta!
Perdona il ritardo, ma solo oggi ho provato a riflettere su quello che hai scritto; tuttavia, non riesco a capire perché valga quella decomposizione dello spazio nella somma diretta che hai scritto. Mi puoi almeno dare un altro spunto di riflessione?
Grazie mille ancora, ciao!
Perdona il ritardo, ma solo oggi ho provato a riflettere su quello che hai scritto; tuttavia, non riesco a capire perché valga quella decomposizione dello spazio nella somma diretta che hai scritto. Mi puoi almeno dare un altro spunto di riflessione?
Grazie mille ancora, ciao!
Scusate ma uppo. Qualcuno può gentilmente darmi un piccolo spunto su come si dimostra quella somma diretta, per favore?
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