Posizione rette..
Salve, ho queste 2 rette, devo determinare la comune perpendicolare. Allora
r':$\{(x=1+t'),(y=1-t'),(z=2t'):}$ ; r'': $\{(x=2),(y=-t"),(z=t''):}$
Allora si nota subito che non sono parallele;
Metto a sistema gli elementi della x, y, z delle 2 rette, ricavandomi t' e t'';
$\{(1+t'=2),(1-t'=-t"),(2t'=-t"):}$ da cui $t'=$1 e $t''=0$. Sostituendoli nelle equazioni delle rette ho
$\{(x=0),(y=0),(z=0):}$ e $\{(x=2),(y=0),(z=0):}$ e quindi le rette non essendo incidenti, sono sghembe. ok?
r':$\{(x=1+t'),(y=1-t'),(z=2t'):}$ ; r'': $\{(x=2),(y=-t"),(z=t''):}$
Allora si nota subito che non sono parallele;
Metto a sistema gli elementi della x, y, z delle 2 rette, ricavandomi t' e t'';
$\{(1+t'=2),(1-t'=-t"),(2t'=-t"):}$ da cui $t'=$1 e $t''=0$. Sostituendoli nelle equazioni delle rette ho
$\{(x=0),(y=0),(z=0):}$ e $\{(x=2),(y=0),(z=0):}$ e quindi le rette non essendo incidenti, sono sghembe. ok?
Risposte
l'equazione della seconda retta è x=2,y=-t'', z=t'' (a sistema)
ho scritto male...devo determinare la loro posizione reciproca xD
Per posizione reciproca intendi se sono parallele, ortogonali, sghembe etc.?
si 
Il tuo procedimento è corretto, io mi sarei semplicemente fermato prima; hai le due rette in forma parametrica e affinchè ci siano punti in comune è sufficiente metterle a sistema, quindi in questo caso ti basta uguagliare componente per componente.
Chiamiamo il parametro della prima retta $t$ e quello della seconda $q$, al fine di non fare confusione.
$\{(1+t=2),(1-t=-q),(2t=q):}$
Fin qui era come penso avevi fatto tu, ma già da qua puoi dedurre che le rette sono sghembe: infatti dalla prima equazione ricavi che $t=1$ e dalla seconda che $q=0$. Ma se $q=0$ la terza equazione non può essere verificata, in quanto risulterebbe $2=0$. Analogamente dalla terza ricavi che $q=2$, ma in questo modo non si verifica la seconda equazione.
Ti basta notare quindi che il sistema non ammette soluzioni in $t,q$ e quindi le due rette non hanno punti in comune.
Dato che stai facendo geometria, ti basterebbe notare che il sistema non è risolvibile, in quanto il rango della matrice incompleta è differente dal rango della matrice completa del sistema.
Chiamiamo il parametro della prima retta $t$ e quello della seconda $q$, al fine di non fare confusione.
$\{(1+t=2),(1-t=-q),(2t=q):}$
Fin qui era come penso avevi fatto tu, ma già da qua puoi dedurre che le rette sono sghembe: infatti dalla prima equazione ricavi che $t=1$ e dalla seconda che $q=0$. Ma se $q=0$ la terza equazione non può essere verificata, in quanto risulterebbe $2=0$. Analogamente dalla terza ricavi che $q=2$, ma in questo modo non si verifica la seconda equazione.
Ti basta notare quindi che il sistema non ammette soluzioni in $t,q$ e quindi le due rette non hanno punti in comune.
Dato che stai facendo geometria, ti basterebbe notare che il sistema non è risolvibile, in quanto il rango della matrice incompleta è differente dal rango della matrice completa del sistema.
ok grazie
un ultima cosa..devo studiare la posizione reciproca delle rette al variare del parametro k...come si fa?
r': $\{(x=1+t'),(y=1-t'),(z=2t'):}$
r'': $\{(x-ky-2=0),((k-1)y-z=0):}$
un ultima cosa..devo studiare la posizione reciproca delle rette al variare del parametro k...come si fa?
r': $\{(x=1+t'),(y=1-t'),(z=2t'):}$
r'': $\{(x-ky-2=0),((k-1)y-z=0):}$
La seconda retta è posta in forma cartesiana: riconducila in forma parametrica.
Poi sfruttando il fatto che il prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo e che due vettori paralleli sono tra essi proporzionali, puoi fare alcune considerazioni...
Scrivi i tuoi tentativi.
Poi sfruttando il fatto che il prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo e che due vettori paralleli sono tra essi proporzionali, puoi fare alcune considerazioni...
Scrivi i tuoi tentativi.
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