Determinare la segnatura della forma bilineare
Salve a tutti, ho un problema con due esercizi. Vi sarei grato di darmi un parere riguardo al mio errore (che sicuramente c'è 
).
1) Determinare la segnatura della forma bilineare simmetrica di $RR^3$ associata alla matrice:
$A=((1,2,0),(2,3,-2),(0,-2,-1))$.
Allora, molto sinteticamente, trovo gli autovalori e vedo quanti sono positivi, negativi o nulli.
$det(A-lambdaI_3)=lambda^3-3lambda^2-9lambda+3$ (polinomio caratteristico è giusto, controllato con lo strumento online di WolframAlpha)
Il problema è che non riesco a trovare radici di tale polinomio.
2) Per ognuna delle seguenti matrici $A$ trovare $M$ invertibile tale che $M^TA M$ sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester.
$A=((2,1,0,1),(1,2,1,0),(0,1,2,1),(1,0,1,2))$ (Metto una sola matrice solo a titolo esplicativo)
Il problema è che non so cosa intenda il mio professore con tale frase sottolineata. Se qualcuno me lo potesse spiegare gliene sarei grato.
).1) Determinare la segnatura della forma bilineare simmetrica di $RR^3$ associata alla matrice:
$A=((1,2,0),(2,3,-2),(0,-2,-1))$.
Allora, molto sinteticamente, trovo gli autovalori e vedo quanti sono positivi, negativi o nulli.
$det(A-lambdaI_3)=lambda^3-3lambda^2-9lambda+3$ (polinomio caratteristico è giusto, controllato con lo strumento online di WolframAlpha)
Il problema è che non riesco a trovare radici di tale polinomio.
2) Per ognuna delle seguenti matrici $A$ trovare $M$ invertibile tale che $M^TA M$ sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester.
$A=((2,1,0,1),(1,2,1,0),(0,1,2,1),(1,0,1,2))$ (Metto una sola matrice solo a titolo esplicativo)
Il problema è che non so cosa intenda il mio professore con tale frase sottolineata. Se qualcuno me lo potesse spiegare gliene sarei grato.
Risposte
Se ti serve solo la segnatura, e non gli autovalori, c’è un criterio molto più semplice. È come se, dato un polinomio, ti si chiedesse solo il segno delle radici, e non le radici.
Non mi ricordo come si chiama questo criterio, ma è quello dei minori; se tutti i minori principali hanno lo stesso segno, succede una cosa, se hanno segni alternati, ne succede un’altra, e sennò la forma è indefinita. Sicuramente sai di cosa sto parlando.
Altrimenti puoi ragionare sul polinomio caratteristico e applicare la regola dei segni di Cartesio. In fondo, è sempre la stessa cosa.
Non mi ricordo come si chiama questo criterio, ma è quello dei minori; se tutti i minori principali hanno lo stesso segno, succede una cosa, se hanno segni alternati, ne succede un’altra, e sennò la forma è indefinita. Sicuramente sai di cosa sto parlando.
Altrimenti puoi ragionare sul polinomio caratteristico e applicare la regola dei segni di Cartesio. In fondo, è sempre la stessa cosa.
"dissonance":
Se ti serve solo la segnatura, e non gli autovalori, c’è un criterio molto più semplice. È come se, dato un polinomio, ti si chiedesse solo il segno delle radici, e non le radici.
Non mi ricordo come si chiama questo criterio, ma è quello dei minori; se tutti i minori principali hanno lo stesso segno, succede una cosa, se hanno segni alternati, ne succede un’altra, e sennò la forma è indefinita. Sicuramente sai di cosa sto parlando.
Altrimenti puoi ragionare sul polinomio caratteristico e applicare la regola dei segni di Cartesio. In fondo, è sempre la stessa cosa.
Ti ringrazio.
Applico la regola dei segni di Cartesio: Siamo nel caso in cui termine noto è diverso da 0 ed essendoci 2 variazioni di segno nel polinomio caratteristico ottengo 2 radici positive e nessuna radice nulla. Le radici negative sono tante quante il grado del polinomio meno le radici positive. Perciò segnatura: $(2,1,0)$.
Per quanto riguarda il secondo esercizio sapete consigliarmi?
Anche col metodo, non è automatico che le radici siano tutte reali. Devi giustificarlo
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