Inviluppo convesso

[Zstar]

Salve, ho il seguente esercizio che non riesco a capire cosa chiede.

Dati tre punti $A,B,C$ in $\mathbb(R^2)$, dimostrare che l’inviluppo convesso dei tre punti, cioè il più
piccolo insieme convesso $T$ che contiene $A,B,C$, è dato da $T=\{X \in \mathbb(R)^2: X=\alpha A+\beta B+\gamma C$ per qualche terna di numeri $\alpha,\beta,\gamma>=0$ con $\alpha+\beta+\gamma=1\}$

Per me questa è proprio la definizione di inviluppo convesso quindi mi trovo in difficoltà. Non ho capito cosa bisogna fare

[hydro1]

Ci sono due insiemi: uno è $T$, l'altro è il più piccolo insieme convesso che contiene $A,B,C$. Devi provare che sono lo stesso insieme.

[Zstar]

Si ma il più piccolo insieme convesso, se volessi scriverlo nella forma in cui è scritto anche T, come si scriverebbe? Perché per me è esattamente T il più piccolo insieme se dovessi scriverlo esplicitamente

[gugo82]

L'inviluppo convesso di un insieme $S$ è per definizione l'insieme:
\[
\operatorname{conv} (S) = \bigcap_{K \supseteq S, K \text{ convesso}}\!\!\! K\; ,
\]
cioè l'intersezione di tutti gli insiemi convessi che contengono $S$.

[Zstar]

Sto pensando.. Ho pensato di dimostrare la doppia inclusione di un insieme nell'altro ma al momento non riesco...

[j18eos]

Inizia col dimostrare, se non l'hai fatto, che \(T\) è convesso e contiene \(\{A,B,C\}\); quindi \(Conv(A,B,C)\subseteq T\)!

Ti trovi?

[dissonance]

"Zstar":Sto pensando.. Ho pensato di dimostrare la doppia inclusione di un insieme nell'altro ma al momento non riesco...

Esatto, devi dimostrare la doppia inclusione. Una inclusione è ovvia, l’altra è quella dove bisogna ragionare un epsilon. Mostra qualche tentativo, “non riesco” non è una risposta accettabile.

[Zstar]

"j18eos":Inizia col dimostrare, se non l'hai fatto, che \(T\) è convesso e contiene \(\{A,B,C\}\); quindi \(Conv(A,B,C)\subseteq T\)!

Ti trovi?

Mi scuso se non ho più risposto ma ho avuto qualche problema extra. Comunque ho ragionato un po' sull'esercizio e questa cosa qui l'ho dimostrata nel seguente modo:

Chiaramente $A,B,C$ sono in T perchè basta prendere $\alpha=1, \beta=\gamma=0$ nel caso di $A$ e simile negli altri casi. Per quanto riguarda T convesso dovrei dimostrare che presi due punti il segmento che li congiunge è in T. Allora:

Siano $X,Y$ due punti in T che scrivo come $X=\alpha A+\beta B+ \gamma C$, $Y=\alpha ' A+\beta ' B+\gamma ' C$. A questo punto considero
$Z=\theta X +(1-\theta) Y, \theta \in [0,1]$ devo dimostrare che $Z$ è in $T$. Perciò:

$Z=A(\alpha \theta +(1-\theta) \alpha ')+B(\beta \theta +(1-\theta) \beta ')+ C(\gamma \theta +(1-\theta) \gamma ')$
Chiaramente $\alpha \theta +(1-\theta) \alpha ' >=0$ perchè somma di cose positive o nulle.
Anche la somma uno è facile dal momento che $\theta [(\alpha+\beta+\gamma)-(\alpha '+\beta '+\gamma ')]=0$ e resta solo $\alpha+\beta+\gamma$ che sappiamo essere 1.

[Zstar]

Per l'altra parte invece sembro un serpente che si mangia la coda. Infatti quello che devo dimostrare è che
$T \subseteq Conv(A,B,C)$. Perciò che

$T \subseteq \bigcap K$ dove $K$ è un insieme convesso tale che $Conv(A,B,C) \subseteq K$

Ma come posso scrivere in maniera esplita K? Per esplicita intendo funzionale al mio scopo, in modo da poterlo, in qualche modo, metterlo in relazione con T

[j18eos]

Io proverei così: sia \(\displaystyle K\) un insieme convesso contenente \(\displaystyle A,B,C\);

quindi \(\displaystyle K\) contiene il triangolo "pieno" insistente su questi vertici, ovvero \(\displaystyle T\subseteq K\) e da ciò l'asserto.

[Zstar]

"j18eos":Io proverei così: sia \(\displaystyle K\) un insieme convesso contenente \(\displaystyle A,B,C\);

quindi \(\displaystyle K\) contiene il triangolo "pieno" insistente su questi vertici, ovvero \(\displaystyle T\subseteq K\) e da ciò l'asserto.

Si, anche io avevo pensato a una cosa del genere dato che dati tre punti il triangolo è il più piccolo insieme convesso che li contiene tutti e tre sarà contenuto in K. Mi sembrava solo troppo semplice

Grazie a tutti!!

[j18eos]

Bisogna comunque dimostrare che il triangolo è convesso.