Corrispondenze inverse tra applicazioni e matrici.

[Pasquale 90]

Buongiorno, sto leggendo gli appunti inerenti alle forme bileneari, in particolare vengono introdotti:

i) Esempio:
$A in M_(m,n)(K)$ matrice, ad essa è possibile assocciare l'applicazione lineare $f_A : K^n times K^m to K$ definita come $f_A(v,w)=v^tAw. $
ii) Proposizione:
Siano ${v_1,...,v_n}$, ${w_1,...,w_m}$ basi rispettivamente di $V$ $W$ e $K$ campo, inoltre $A=(a_(ij)).$
Allora esiste un'unica applicazione bilineare $f:VtimesW to K$ tale che $f(v_i,w_j)=a_(ij).$

Inoltre con $A_f=f(v_i,w_j)$ con $i=1,...,n$ e $j=1,...,m,$ chiamo matrice associata a $f$ rispetto alle basi di $V$ e $W$

Sia la i) che la ii) mi sono chiare, dopodichè viene fatta la seguente osservazione:
le coorispondenze $f to A_f$ e $A to f_A$ sono l'una inversa dell'altra.

Intuitivamente ci sono, ma se dovessi provarla algebricamente un pò meno, fatto sta che in matematica solo l'intuito non basta.
Quello che ho osservato che entrambi le corrispondenze sono biettive, dunque invertibili.
In generale, prese due applicazioni $alpha, beta$ una l'inversa dell'altra, deve succedere che $ alpha circ beta= 1=beta circ alpha.$
Il problema che non riesco a impostare $ alpha circ beta= 1=beta circ alpha.$

Ciao a presto.

[fulcanelli]

Come hai definito \(f \mapsto A_f\) e \(A\mapsto f_A\)? Con questa definizione, basta scrivere chi è \(f_{A_f}\) per accorgersi che è \(f\), e alla stessa maniera, \(A_{f_A}=A\).

[Pasquale 90]

Non prendiamo in considerazione quello che ho scritto nel messaggio iniziale.

Suppongo di conoscere:
$A in M_(m,n)(K),$ e $ lambda_A:K^n times K^m to K$ siano

$g:A in M_(m,n)(K) \ to \ lambda_A(v,w)=v^tAwin K,$

$h: (v,w) in K^n times K^m \ to \ h(v_i,w_j)=(a_(ij)) in K,$

dove $v_1,...,v_n$ base di $V$ e $w_1,...,w_j$ base di $W.$ Quello che devo dimostrare 1) $h^(-1)=g,$ 2) $g^(-1)=h.$
Dunque

$h^(-1) \ : \ a_(ij) in K \ to \ h^(-1)(a_(ij)) in K^n times K^m, $

il problema che non riesco a determinare $ h^(-1)(a_(ij)),$ sono tentato a dire $ h^(-1)(a_(ij))=(v_i,w_j)$ continuando, valuterei $lambda_A$ in $(v_i,w_j)$ per ottenere $v_ia_(ij)w_j.$
Poiché un'applicazione è definita una volta che si conosce i valore che essa assume, otterrei proprio $g.$
Chiaramente questa è una mia supposizione, anzi, sono un po' ditubante.

Ciao a presto.

[fulcanelli]

ditubante

Cos'è che sei? Lol

Comunque, da un lato se \(A \in M_{m,n}(K)\), \(\lambda_A = (v,w)\mapsto v^tAw\) è una applicazione bilineare \(K^n\times K^m \to K\); dall'altro se \(g : K^n\times K^m \to K\) è un'applicazione bilineare, definisci \((A_g)_{ij} = g(e_i,e_j)\), dove \(\{e_i\}\) è la base canonica (così \(A\) ti viene in base canonica; se lo fai con un'altra base, ti verrà la matrice in un'altra base).

Ora è sufficiente osservare che \(g(e_i,e_j)\) definiscono univocamente \(g\), perché essa è bilineare, e gli ingressi di una matrice \(A\) la definiscono univocamente, perché quegli ingressi altro non sono che le coordinate di A quando \(M_{m,n}(K)\) viene guardato come spazio vettoriale su $K$ di dimensione \(m\times n\).

Alternativamente puoi decidere di far metà lavoro: ciascuna di quelle due mappe è ovviamente iniettiva, e dominio e codominio hanno la stessa dimensione (anche lo spazio delle applicazioni bilineari è di dimensione \(m\times n\): dimostralo.); a questo punto, una applicazione lineare iniettiva tra spazi della stessa dimensione -finita- deve essere un isomorfismo. Siccome l'altra mappa ne è l'inversa sinistra, deve esserne anche l'inversa destra.

[Pasquale 90]

Volevo dire titubante. Comunque, perdonami potresti essere un pochettino più esplicito.

[fulcanelli]

Comunque, perdonami potresti essere un pochettino più esplicito.

Certo.

Da un lato se \(A \in M_{m,n}(K)\), \(\lambda_A = (v,w)\mapsto v^tAw\) è una applicazione bilineare \(K^n\times K^m \to K\); dunque \(\lambda : M_{m,n}(K) \to \text{Bil}(K^n\times K^m,K)\); dall'altro se \(g : K^n\times K^m \to K\) è un'applicazione bilineare, definisci \((A_g)_{ij} = g(e_i,e_j)\), dove \(\{e_i\}\) è la base canonica (così \(A\) ti viene in base canonica; se lo fai con un'altra base, ti verrà la matrice in un'altra base). Questo definisce una funzione \(M_{m,n}(K) \leftarrow \text{Bil}(K^n\times K^m,K)\).

Ora è sufficiente osservare che \(g(e_i,e_j)\) definiscono univocamente \(g\), perché essa è bilineare, e gli ingressi di una matrice \(A\) la definiscono univocamente, perché quegli ingressi altro non sono che le coordinate di A quando \(M_{m,n}(K)\) viene guardato come spazio vettoriale su $K$ di dimensione \(m\times n\) (un vettore è determinato dalle sue coordinate).

Alternativamente puoi decidere di far metà lavoro: ciascuna di quelle due mappe è lineare, ed è ovviamente iniettiva, in più dominio e codominio hanno la stessa dimensione (anche lo spazio delle applicazioni bilineari è di dimensione \(m\times n\): dimostralo.); a questo punto, una applicazione lineare iniettiva tra spazi della stessa dimensione -finita- deve essere un isomorfismo. Siccome l'altra mappa ne è l'inversa sinistra, deve esserne anche l'inversa destra.