Esercizio: Estensione riferimento ortonormale.

[Pasquale 90]

Buonasera, ho il seguente esercizio:
s.v.e. "spazio vettoriale euclideo".
Esercizio: Sia $(V,<-,\-\>)$ s.v.e. di dimensione $n$ e sia $S=(e_1,...,e_p)$ sistema ortogonale di versori, con $p le n.$
Dimostrare che è possibile estendere $S$ ad un riferimento ortonormale.

Ho pensato di procedere nella seguente maniera:
1) considero un riferimento $ xi=(v_1,...,v_p, v_(p+1),...,v_n) $ di $V$
2) considero la seguente proposizione:
$(V,<-,-\>)$ s.v.e. di dimensione $n$ e sia $ xi=(v_1,...,vp, v_(p+1),...,v_n)$ un riferimento di $V$.
Allora esiste un unico riferimento ortonormale $(e_1,...,e_n)$ tale che per ogni $k=1,...,n$
i) i vettori $e_1,...,e_k$ generano lo stesso sottospazio dei vettori $v_1,...,v_k$
ii) il prodotto scalare $$ è positivo.
iii) I vettori $e_1,...,e_k$ possono essere calcolati induttivamente mediante le formule

$e_k=1/||u_k||u_k, qquad u_k=v_k-sum_(i=1)^(k-1)e_i, k=1,...,p$

In particolare dalla 2-iii) posso determinare i rimanenti $n-p$ vettori, questo conclude l'esercizio.
Potrebbe andare bene ?

Ciao a presto.

[j18eos]

Domanda rapida: conosci i complementi ortogonali di un insieme\sottospazio vettoriale?

...e mi riprometto di controllare a mente calma quanto hai scritto!

[Pasquale 90]

Ciao j18eos

"j18eos":Domanda rapida: conosci i complementi ortogonali di un insieme\sottospazio vettoriale

si...almeno penso

"j18eos":...e mi riprometto di controllare a mente calma quanto hai scritto!

Ok

[j18eos]

Mi sembra che il marchingengno funzioni...

[Pasquale 90]

Grazie , comunque perché quella domanda rapida

[j18eos]

Bastava completare \(S\) a una base ortonormale di \(\mathbb{V}\) considerando una base ortonormale di \(S^{\perp}\).