Funzione univocamente determinata
salve, qualcuno mi sa dare una definizione precisa di "funzione univocamente determinata" da dei valori? ad esempio, se $f: X -> Y $ con X separabile e Y di Hausdorff, si ha che f è univocamente determinata da un insieme numerabile di valori. cosa vuol dire? (non parlo delle trasformazioni lineari che sono univocamente determinate dai valori assunti su una base, vorrei una definizione più generale da usare in un esercizio e non l'ho trovata)
Risposte
Indizio: ogni punto di \(\displaystyle X\) è il limite di una successione di punti di \(\displaystyle X\)...
"_ester_":
salve, qualcuno mi sa dare una definizione precisa di "funzione univocamente determinata" da dei valori? ad esempio, se $f: X -> Y $ con X separabile e Y di Hausdorff, si ha che f è univocamente determinata da un insieme numerabile di valori. cosa vuol dire? (non parlo delle trasformazioni lineari che sono univocamente determinate dai valori assunti su una base, vorrei una definizione più generale da usare in un esercizio e non l'ho trovata)
La definizione è la stessa, no? Una volta che conosci quei valori, c'è una sola funzione possibile.
"ghira":
Una volta che conosci quei valori, c'è una sola funzione possibile.
beh sì, ma io cercavo, se esiste, una definizione più formale mentre questo è il "senso", diciamo
"j18eos":
ogni punto di $X$ è il limite di una successione di punti di $X$...
ma questa risposta è relativa all'esempio che ho dato, o vale in generale?
"_ester_":
se $f: X -> Y $ con X separabile e Y di Hausdorff, si ha che f è univocamente determinata da un insieme numerabile di valori.
Così è falso.
Quante funzioni continue di $RR$ in sé sono determinate dai valori assunti su $NN$?
Il punto della faccenda è questo. Se $X$ separabile esiste qualche sottoinsieme numerabile e denso in $X$.
Dire che una funzione continua è univocamente determinata dai valori assunti su $Delta$ sottoinsieme numerabile e denso in $X$ significa che basta conoscere i valori della restrizione $f_(/Delta)$ per ricostruire tutta $f$ tramite un procedimento di limite; in particolare, fissato $x in X$ e considerata una successione $(x_n) sube Delta$ tale che $x_n -> x$, si ha $f_(/Delta)(x_n) -> f(x)$, quindi per sapere chi è $f(x)$ ti basta approssimare tale valore con la successione (nota) $(f_(/Delta)(x_n))$.
@_ester_ Io mi riferivo solo al caso in cui consideri il dominio \(\displaystyle X\) separabile, il codominio \(\displaystyle Y\) "di Hausdorff" e consideri un sottoinsieme denso e numerabile di \(\displaystyle X\).
Grazie a entrambi! Non ho avuto il tempo di rispondere prima, ma ora è più chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo