Verifica della Dimostrazione sulla Proposizione [(ScS')=>span(S) c span(S')]
Chiedo scusa in anticipo per il disordine. Sono nuovo e non ho trovato alcun modo per poter maneggiare le spaziature..
PROPOSIZIONE
Siano
V K-spazio vettoriale, dove $(v_1,..,v_m in V)$ elementi di V, $(a_1,..,a_n,a'_1,..,a'_m in K)$ elementi di K;
$SsubS'subV$ dove $S={v_1,..,v_n}$, $S'={v_1,..,v_n,..,v_m}$ sottoinsiemi di V
Allora $sub$ , ovvero lo spazio generato da S è contenuto in quello generato da S'
DIMOSTRAZIONE
$ =$(DEF)$ {sum_(i=1)^(n)a_iv_i}$
$ =$(DEF)$ {sum_(i=1)^(m)a'_iv_i}$ $=$(Scomposizione Sommatoria) ${sum_(i=1)^(n)a'_iv_i+sum_(i=n+1)^(m)a'_iv_i}$
Considero $sub hArr x in rArr x in$ Tautologia
Sia $x:=sum_(i=1)^(n)a_iv_i | x in$;
Memo: $a'_1,..,a'_m$ coefficienti di $b:=sum_(i=1)^(m)a'_iv_i$
Scelgo $a'_(n+1)=..=a'_m=0$(terra terra, scelgo che i coefficienti dei $v_i in S'\\S$ siano 0);
Scelgo $a'_1=a_1,..,a'_n=a_n$;
E concludo che $x in$.
L'intenzione era condividere una dimostrazione incompleta ricca di domande nei punti in cui io avessi
#dubbi di correttezza logica/formale
#zero idee sui punti in cui io fossi bloccato
Ma poi, col pomeriggio che mi ha fatto compagnia, con il tempo che vola, è venuta fuori.. questa cosa qua sopra, che mi auguro sia il più possibile corretta.
Vorrei chiedere se,
(1)La dimostrazione risulta corretta, ovvero non risulta alcun passaggio logico scorretto o dato per scontato
(2)Ci siano strade più brillanti, di quella banale che ho seguito sopra
(3)Sia possibile avere il controllo degli spazi, quando scrivo il post xD
Mi dispiace aver aperto un thread povero di domande significative, se non di verifica del lavoro.
Allo stesso tempo, mi piacerebbe poter lasciare sul sito la versione della dimostrazione, una volta corretta, in modo tale da contribuire nella condivisione di informazione libera, poiché la dimostrazione di questo enunciato non l'ho trovata da nessuna parte, né in inglese né in italiano né in alcuna lingua.
Grazie in anticipo per il vostro feedback
PROPOSIZIONE
Siano
V K-spazio vettoriale, dove $(v_1,..,v_m in V)$ elementi di V, $(a_1,..,a_n,a'_1,..,a'_m in K)$ elementi di K;
$SsubS'subV$ dove $S={v_1,..,v_n}$, $S'={v_1,..,v_n,..,v_m}$ sottoinsiemi di V
Allora $
DIMOSTRAZIONE
$
$
Considero $
Sia $x:=sum_(i=1)^(n)a_iv_i | x in
Memo: $a'_1,..,a'_m$ coefficienti di $b:=sum_(i=1)^(m)a'_iv_i$
Scelgo $a'_(n+1)=..=a'_m=0$(terra terra, scelgo che i coefficienti dei $v_i in S'\\S$ siano 0);
Scelgo $a'_1=a_1,..,a'_n=a_n$;
E concludo che $x in
L'intenzione era condividere una dimostrazione incompleta ricca di domande nei punti in cui io avessi
#dubbi di correttezza logica/formale
#zero idee sui punti in cui io fossi bloccato
Ma poi, col pomeriggio che mi ha fatto compagnia, con il tempo che vola, è venuta fuori.. questa cosa qua sopra, che mi auguro sia il più possibile corretta.
Vorrei chiedere se,
(1)La dimostrazione risulta corretta, ovvero non risulta alcun passaggio logico scorretto o dato per scontato
(2)Ci siano strade più brillanti, di quella banale che ho seguito sopra
(3)Sia possibile avere il controllo degli spazi, quando scrivo il post xD
Mi dispiace aver aperto un thread povero di domande significative, se non di verifica del lavoro.
Allo stesso tempo, mi piacerebbe poter lasciare sul sito la versione della dimostrazione, una volta corretta, in modo tale da contribuire nella condivisione di informazione libera, poiché la dimostrazione di questo enunciato non l'ho trovata da nessuna parte, né in inglese né in italiano né in alcuna lingua.
Grazie in anticipo per il vostro feedback
Risposte
Risposta (1): è corretta, e si potrebbe leggermente accorciare affermando che si può scegliere (lapalissianamente) gli ultimi \(n-m\) coefficienti uguali a \(0\)!
Lapalissianamente :'))
Mi sorprende non aver ancora sentito questa raffinata versione di 'banale' dai professori.. mi sento costretto a trasportarla in rubrica: troppo preziosa per poter essere dimenticata *relieved face*
Provvedo subito ad accorciare/semplificare la dimostrazione. Grazie mille del feedback!!
Mi sorprende non aver ancora sentito questa raffinata versione di 'banale' dai professori.. mi sento costretto a trasportarla in rubrica: troppo preziosa per poter essere dimenticata *relieved face*
Provvedo subito ad accorciare/semplificare la dimostrazione. Grazie mille del feedback!!
Pensavo si potesse modificare il messaggio originale :')
Poiché non ho la pallida idea di come si possa fare e, ancor prima, dell'esistenza di questa opzione(modificare il messaggio), lascio la dimostrazione così com'è, con la precisazione di j18eos sottostante.
Poiché non ho la pallida idea di come si possa fare e, ancor prima, dell'esistenza di questa opzione(modificare il messaggio), lascio la dimostrazione così com'è, con la precisazione di j18eos sottostante.
"Lapalissianamente" è un po' più forte di "banalmente"! ;-P
Credo di aver già risposto alla domanda (2);
la (3) è una domanda tecnica informatica?
Credo di aver già risposto alla domanda (2);
la (3) è una domanda tecnica informatica?
Se vuoi maggiore controllo usa LaTeX (cosa che consiglio ad uno studente di un corso di laurea scientifica):
PROPOSIZIONE
Siano \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale e \(v_1, \dotsc , v_m\) elementi distinti di \(V\). Siano inoltre \(S=\{v_1,\dotsc,v_n\}\) e \(S'=\{v_1,\dotsc,v_n,\dotsc,v_m\}\). Allora \(\langle S\rangle \subset \langle S'\rangle\) ovvero lo spazio generato da \(S\) è contenuto in quello generato da \(S'\).
DIMOSTRAZIONE
Per definizione risulta che \(\langle S\rangle = \{\sum_{i=1}^n a_iv_i \mid a_i\in \mathbb{K}\} \) e
\begin{align*}\langle S'\rangle &= \Bigl\{\sum_{i=1}^m a_iv_i \Bigm\vert a_i \in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{\sum_{i=1}^n a_iv_i + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert a_i, a_j\in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \mathbf{v} + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert \mathbf{v}\in \langle S\rangle,\, a_j\in \mathbb{K} \Bigl\} = \langle S\rangle + \langle v_{n+1},\dotsc, v_m \rangle \;. \end{align*}
Questo testo l'ho scritto nel seguente modo:
Comunque è un risultato piuttosto base, se non è scritto esplicitamente come proposizione, è dato come esercizio alla fine del capitolo. Mi sembra strano che tu non lo abbia trovato sul tuo manuale.
PROPOSIZIONE
Siano \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale e \(v_1, \dotsc , v_m\) elementi distinti di \(V\). Siano inoltre \(S=\{v_1,\dotsc,v_n\}\) e \(S'=\{v_1,\dotsc,v_n,\dotsc,v_m\}\). Allora \(\langle S\rangle \subset \langle S'\rangle\) ovvero lo spazio generato da \(S\) è contenuto in quello generato da \(S'\).
DIMOSTRAZIONE
Per definizione risulta che \(\langle S\rangle = \{\sum_{i=1}^n a_iv_i \mid a_i\in \mathbb{K}\} \) e
\begin{align*}\langle S'\rangle &= \Bigl\{\sum_{i=1}^m a_iv_i \Bigm\vert a_i \in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{\sum_{i=1}^n a_iv_i + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert a_i, a_j\in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \mathbf{v} + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert \mathbf{v}\in \langle S\rangle,\, a_j\in \mathbb{K} \Bigl\} = \langle S\rangle + \langle v_{n+1},\dotsc, v_m \rangle \;. \end{align*}
Questo testo l'ho scritto nel seguente modo:
PROPOSIZIONE
Siano \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale e \(v_1, \dotsc , v_m\) elementi distinti di \(V\). Siano inoltre \(S=\{v_1,\dotsc,v_n\}\) e \(S'=\{v_1,\dotsc,v_n,\dotsc,v_m\}\). Allora \(\langle S\rangle \subset \langle S'\rangle\) ovvero lo spazio generato da \(S\) è contenuto in quello generato da \(S'\).
DIMOSTRAZIONE
Per definizione risulta che \(\langle S\rangle = \{\sum_{i=1}^n a_iv_i \mid a_i\in \mathbb{K}\} \) e
\begin{align*}\langle S'\rangle &= \Bigl\{\sum_{i=1}^m a_iv_i \Bigm\vert a_i \in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{\sum_{i=1}^n a_iv_i + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert a_i, a_j\in \mathbb{K}\Bigr\} \\ &= \Bigl\{ \mathbf{v} + \sum_{j=n+1}^m a_jv_j \Bigm\vert \mathbf{v}\in \langle S\rangle,\, a_j\in \mathbb{K} \Bigl\} = \langle S\rangle + \langle v_{n+1},\dotsc, v_m \rangle \;. \end{align*}Comunque è un risultato piuttosto base, se non è scritto esplicitamente come proposizione, è dato come esercizio alla fine del capitolo. Mi sembra strano che tu non lo abbia trovato sul tuo manuale.
Comunque si può anche usare il fatto che lo spazio generato è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene quegli elementi. Quindi è evidente che se \(S\subseteq S'\) allora \(\langle S\rangle\subseteq\langle S'\rangle\), insomma vale anche per insiemi infiniti.
"j18eos":
"Lapalissianamente" è un po' più forte di "banalmente"! ;-P
Credo di aver già risposto alla domanda (2);
la (3) è una domanda tecnica informatica?
hahaha, tra matematici ci si capisce
Certo, ha risposto a tutte le domande. La (3) riguarda un altro ambito. Penso che dedicherò del tempo a imparare Latex come suggerito. Grazie di tutto <3
"vict85":
Comunque si può anche usare il fatto che lo spazio generato è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene quegli elementi. Quindi è evidente che se \(S\subseteq S'\) allora \(\langle S\rangle\subseteq\langle S'\rangle\), insomma vale anche per insiemi infiniti.
Molto molto apprezzato il consiglio di Latex e la riscrittura della dimostrazione in una forma decisamente più concisa. Al teorema del più piccolo sottospazio vettoriale, nemmeno ci avevo pensato. L'affinità tra i due enunciati è fin troppo marcata xD Grazie della nuova prospettiva!
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