Diagonalizzazione matrice quadrata

[koralius]

Salve, ho una perplessità. Una domanda da testo d'esame dice:

"Considera \(A\in M^{n,n}(\mathbb{R})\). Dimostra se sia vera o falsa la seguente relazione: $A$ è diagonalizzabile se e solo se $A^2$ è diagonalizzabile."

Da dove posso partire? Va bene considerare la definizione formale di matrice diagonalizzabile, quindi iniziare col dire se è simile ad una matrice diagonale?

Non so davvero dove sbattere la testa, se mi poteste dare qualche dritta ve ne sarei grato.

[Bokonon]

Io comincerei dimostrando la proposizione contraria.
Questo ti aiuterà a notare un "dettaglio" essenziale.

[dissonance]

Immagino che Bokonon si riferisca all’implicazione “\(A\) è diagonalizzabile \(\Rightarrow\) \(A^2\) è diagonalizzabile”. Questa è vera (scusa lo spoiler) ed è facile da dimostrare, bisogna solo capire la definizione di “matrice diagonalizzabile”. Sono d’accordo che bisogna iniziare col dimostrare questa implicazione. Il viceversa è un’altra storia.