Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno! Ho un quesito che mi sembra anche banale ma che non capisco come si sia giunti alla soluzione.
Il problema è di fisica ma è la parte di geometria che non riesco a capire: una particella entrando in un campo magnetico percorre un arco di circonferenza per poi uscire dalla zona del campo con un certo angolo di deflessione verticale alpha e a una distanza y dall’orizzontale.
So che la soluzione per trovare il raggio é:
$y = r - r sin (alpha)$
$r = y / (1 - sin(alpha))$
Io ho provato a costruirmi dei ...
Sia \( M \) un \( R \)-modulo libero (con \( R \) anello commutativo) di rango \( d \), e sia \( \{ e_1,\dots,e_d \} \) una sua base.
Per far vedere che \(\Lambda^k(M) \) è nonbanale, un'idea è di embeddarlo in \( M^{\otimes k} \) estendendo l'applicazione \( M^k\to M^{\otimes k} \) che mappa
\[
(m_1,\dots,m_k)\mapsto \sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sign}(\sigma)\, m_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes m_{\sigma(k)}
\] dove \( S_k \) è il gruppo simmetrico su \( k \), all'omomorfismo \( ...
Buonasera, non riesco proprio e venir fuori da questo problema. Ho il seguente sistema:
$\{(−2jx_1 +2x_2=0),(−2x_1 −2jx_2=0),(−2x_1 − 1/2 x_2 − (2 j − 1/2 )x_3 =0):}$
Allora ottengo:
$\{(x_2=jx_1),(0=0),(−2x_1 − 1/2 (jx_1) − (2 j − 1/2 )x_3 =0):}$
Mettendo in evidenza nella terza e moltiplicando per j il primo membro della terza ottengo:
$\{(x_2=jx_1),(x_1=-x_3):}$
Da cui un generico autovettore può essere:
$v= ((-a),(-ja),(a))$ con a numero complesso.
Il libro mi riporta invece un autovetture generico del tipo:
$v= ((-ja),(a),(a))$
Dove sbaglio? Sicuro al variare di a ho infinite possibilità, ma non ...
Ciao ragazzi,
stavo ripassando il teorema in oggetto, in particolare leggendo questa dimostrazione:
http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/4 ... heorem.pdf
La domanda è: perché la conclusione del 'Lucky Fact 2' è un assurdo? Dove vedo con certezza che il \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle \mathbf{A} \) trovato (che ha quella forma particolare con \(\displaystyle r \) zeri all'inizio) non possa essere uno tra i \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \) già dichiarati inizialmente?
Mi è venuto un dubbio sulle applicazioni lineari (o operatori) che nasce da un esempio visto .
Se $ A $ e $ B $ rappresentano 2 applicazioni lineari, $x,y$ due vettori, possiamo dire che
$ (A\vecx)*(B\vecy)^T = (A*B\vecx)\vecy^T $?.
Un saluto ed un grazie anticipato
A.
Buongiorno, ho qualche dubbio su una dimostrazione riguardante la caratterizzazione degli iperpiani.
Definizione: Un sottospazio $H$ di uno spazio vettoriale $V$ si dice iperpiano se esiste un'applicazione lineare non nulla $f:V\to K$ tale che $H=ker(f).$
Proposizione: Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K.$ Sia $H$ iperpiano allora risulta $H ne V$ e $forall v notin H$ vale ...
Ciao a tutti
Ho questa matrice:
[tex]R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex]
devo calcolare l'immagine:
[tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex]
e quindi lo span.
Io ho sottratto all'ultima riga la prima, così da ottenere:
[tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0& -2 & -2\end{bmatrix}[/tex]
dove quindi le ultime due righe sono linearmente dipendenti, perciò il rango è 2, ma ...
Buonasera, ho un esercizio il quale ho provato a svolgerlo da solo, ma non sono sicuro se l'ho svolto correttamente.
Esercizio:
Siano due matrici $A in K^(n,m)$ e $D in K^(n,l)$, esiste una matrice $B in K^(m,l)$ tale che $AB=D$ se e solo se ogni colonna di $D$ è combinazione lineare della colonne di $A.$
Svolgimento:
Si ha una doppia implicazione, dunque, l'implicazione che va da sinistra verso destra, segue dalla definizione di prodotto righe ...
Buonasera, vi riporto una proposizione che discende dal teorema di Laplace:
Sia $A in M_m(K)$ con $K$ campo, siano due indici $i,j=1,...,m$ con $i ne j$ allora
$sum_(h=1)^m a_(ih)A_(jh)=a_(i1)A_(j1)+...+a_(im)A_(im)=0.$Dove con $A_(jh)=(-1)^(j+h)C_(jh)$ complemento algebrico dell'elemento $a_(jh)$ di $A$.
Dimostrazione:
Denotata con $B$ la matrice che si ottiene dalla matrice $A$ sostituendo la riga i-esima con la j-esima.
La matrice ottenuta ha due righe ...
Ho bisogno di aiuto per capire la dimostrazione del teorema della proiezione. Sul libro di testo (e su wikipedia) il teorema è inteso solo come la parte d dell'enunciato che ci ha proposto la prof, e su quella non ho problemi. Per le altre 3 dimostrazioni invece si. La versione del teorema proposto dalla prof è la seguente.
sia $ H \sub V^n $ sottospazio, $\bar{v} in V^n$. Allora:
a) $\bar{v}$ si scrive in modo unico come $\bar{v}=\bar{v}_H+\bar{v}_{H^{_|_ }}$ con $\bar{v}_H in H$ e ...
Salve, oggi, a Geometria 1, abbiamo introdotto l'ampliamento proiettivo e l'ampliamento complesso del piano e abbiamo incominciato a vedere i primissimi risultati. Dopo la lezione, ci stavamo confrontando tra compagni (ovviamente a distanza) ed è uscito il dubbio se una curva chiusa (piana) potesse intersecare la retta impropria. Il dubbio è nato sulla considerazione che nel piano proiettivo reale, un'ellisse non interseca la retta. Io avevo pensato che se ci troviamo nel piano proiettivo ...
Salve ragazzi, mi rendo conto che la domanda sia molto banale ma volevo chiedervi una cosa del seguente problema:
Si consideri l’insieme di $\mathbb R^n $composto da tutte le omotetie e da tutte le traslazioni :
In quali casi $h_{c,\lambda}$ (omotetia di centro $c$ e rapporto $lamda$) commuta con una traslazione $t_u$ di vettore u?
Mi hanno detto che c'è un caso in cui è vero , però non ho capito come agisce questa commutazione , cioè mi è chiaro che ...
Avrei bisogno di una mano con questo teorema che sembra essere sconosciuto al web. Il mio professore l'ha identificato come "teorema del supporto aciclico" e ha dato il seguente enunciato:
"Siano $f,g: C_*(K)->C_*(L)$ due mappe aumentate di catene con $K,L$ simplessi. Si ha, inoltre, che $\forall \sigma \in K$:
-$\exists \psi(\sigma) \subset C_*(L)$ sottocomplesso aciclico
-$\f(\sigma),g\(\sigma) \in \psi(\sigma)$
-se $\sigma \subset \tau$ allora $\psi(\sigma)\subset \psi(\tau)$
allora esiste un'omotopia tra le mappe $f,g$.
Prima di tutto ...
Buonasera! Ho un dubbio che riguarda i vettori ed i numeri complessi.
Dato un numero complesso $z = a+bi$ , con $a,b in RR$, il suo complesso coniugato è:
$bar(z)=a-bi$
Quello che mi chiedevo è: questo concetto come si estende ai vettori?
Per esempio, dato il vettore $v$ così definito
$v= ( ( -2+3i ),( 5-4i ),( 4 ),( 0 ) ) $
Qual è il complesso coniugato di $v$, ovvero $bar(v)$ ?
$bar(v)$ è un vettore che ha, per ogni sua componente, il complesso ...
Ciao, ho un dubbio sull'ultima parte della dimostrazione del teorema di rouche capelli, quella che parla del numero di soluzioni del sistema (una soluzione/infinite soluzioni)
Senza troppe premesse, sulla dimostrazione che ho studiato arrivo alla conclusione che dim(Sol(A|b)) = n - rk(A), e il paragrafo si conclude dicendo che "il numero delle soluzioni del sistema è uguale a n-rk(A) C.V.D"
Non capisco però, perchè se n=rk(A) allora il numero delle soluzioni sarebbe uguale a 0, mentre il ...
Ciao a tutti, ho un dubbio su qualche dicitura.
Data la matrice $A in RR^(3 xx 3)$
E' corretto dire che la matrice dei cofattori è:
$COF(A)= ( ( Cof(A_11) , Cof(A_12) , Cof(A_13) ),( Cof(A_21) , Cof(A_22) , Cof(A_23) ),( Cof(A_31) , Cof(A_32) , Cof(A_33) ) ) $
?
Io ho sempre denominato "Cofattore della sottomatrice $A_(ij)$" il singolo elemento
$Cof ( A_(ij))$
E' corretto?
E, per completezza, è uguale a:
$Cof ( A_(ij))= -1^(i+j) det(A_(ij))$
Dove $det(A_ij)$ è il determinante della sottomatrice di $A$ ottenuta eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna.
Ciao!
Dovrei svolgere un semplice esercizio ma non mi riesce. Ve lo presento:
[highlight]"Consideriamo un vettore con componenti dipendenti dal tempo $x(t) in RR^n$ ed una matrice $A in RR^(nxxn)$
Si consideri il seguente sistema:[/highlight]
$ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( x_i(t)>=0 forall i ),( sum x_i(t)=gamma forall t),( gamma = text(costante) in RR\\ {0}):} $
[highlight]Dimostrare che $A$ ha un autovalore in zero, sfruttando il vettore $vec(1)^t$, ovvero il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento ...
Salve domani ho l'esame di teoria e so che ci mette la domanda tranello. E vorrei sapere come dimostrare che:
Se A e B sono due matrici moltiplicabili, (AXB)^T = (B^T)X(A^T).
Come lo dimostrereste? Sono giorni che ci provo ma non so come dimostrarla.
Chi mi potrebbe dare una mano?
Grazie infinite!
Salve a tutti questo è il mio primo messaggio, non so se lo sto pubblicando nella sezione giusta ma ho assolutamente bisogno di un chiarimento riguardo questo teorema. Onde evitare fraintendimenti tento di trascriverlo
Siano U, V, W tre spazi vettoriali su K. Sia f $ in $ hom(U,V) e g $ in $ hom(V,W).
Le applicazioni F: hom(V,W) $ rarr $ hom(U,W) e G: hom(U,V) $ rarr $ hom(U,W) definite da
F(h) = h $ @ $ f ; ...
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