Geometria e Algebra Lineare

"Sergio":(omissis) Tralascio questa matrice e mi rimane il vettore colonna dei coefficienti della combinazione lineare, quindi: $(T(b_1)" "T(b_2)" "..." T(b_j) "..." "T(b_n))=((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1m}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2m}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{nm}))$ Ecco la nosta matrice! Ma quel "tralasciare" ha un prezzo (omissis) Secondo me l'ultima colonna di quella matrice è sbagliata. Dovrebbe essere: $((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1n}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2n}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{mn}))$ Infatti la matrice associata ha $n$ colonne: la dimensione del dominio ($V$) (come indicato nella definizione a inizio post). ...

Ho un dubbio (forse sciocco) sulla seguente: Una funzione su uno spazio topologico banale (a valori in un qualsiasi spazio topologico) è continua se e solo se è costante. Dato che una funzione costante è continua su qualsiasi spazio topologico l'implicazione verso sinistra è immediata; se la funzione ad ogni elemento del sostegno dello spazio del dominio associa un certo elemento a del sostegno dello spazio del codominio, basta far vedere che presa una generica topologia e un generico suo ...

Buongiorno! Ho un quesito che mi sembra anche banale ma che non capisco come si sia giunti alla soluzione. Il problema è di fisica ma è la parte di geometria che non riesco a capire: una particella entrando in un campo magnetico percorre un arco di circonferenza per poi uscire dalla zona del campo con un certo angolo di deflessione verticale alpha e a una distanza y dall’orizzontale. So che la soluzione per trovare il raggio é: $y = r - r sin (alpha)$ $r = y / (1 - sin(alpha))$ Io ho provato a costruirmi dei ...

buonasera a tutti, avrei una domanda da fare, non so se sia la categoria giusta, essendo che riguarda un "disegno geometrico" sarebbe fattibile (e come) disegnare un crechio inscritto e tangente alle due curve ed il punto come da immagine?

Sia \( M \) un \( R \)-modulo libero (con \( R \) anello commutativo) di rango \( d \), e sia \( \{ e_1,\dots,e_d \} \) una sua base. Per far vedere che \(\Lambda^k(M) \) è nonbanale, un'idea è di embeddarlo in \( M^{\otimes k} \) estendendo l'applicazione \( M^k\to M^{\otimes k} \) che mappa \[ (m_1,\dots,m_k)\mapsto \sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sign}(\sigma)\, m_{\sigma(1)}\otimes\dots\otimes m_{\sigma(k)} \] dove \( S_k \) è il gruppo simmetrico su \( k \), all'omomorfismo \( ...

Buonasera, non riesco proprio e venir fuori da questo problema. Ho il seguente sistema: $\{(−2jx_1 +2x_2=0),(−2x_1 −2jx_2=0),(−2x_1 − 1/2 x_2 − (2 j − 1/2 )x_3 =0):}$ Allora ottengo: $\{(x_2=jx_1),(0=0),(−2x_1 − 1/2 (jx_1) − (2 j − 1/2 )x_3 =0):}$ Mettendo in evidenza nella terza e moltiplicando per j il primo membro della terza ottengo: $\{(x_2=jx_1),(x_1=-x_3):}$ Da cui un generico autovettore può essere: $v= ((-a),(-ja),(a))$ con a numero complesso. Il libro mi riporta invece un autovetture generico del tipo: $v= ((-ja),(a),(a))$ Dove sbaglio? Sicuro al variare di a ho infinite possibilità, ma non ...

Ciao ragazzi, stavo ripassando il teorema in oggetto, in particolare leggendo questa dimostrazione: http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/4 ... heorem.pdf La domanda è: perché la conclusione del 'Lucky Fact 2' è un assurdo? Dove vedo con certezza che il \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle \mathbf{A} \) trovato (che ha quella forma particolare con \(\displaystyle r \) zeri all'inizio) non possa essere uno tra i \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \) già dichiarati inizialmente?

Mi è venuto un dubbio sulle applicazioni lineari (o operatori) che nasce da un esempio visto . Se $ A $ e $ B $ rappresentano 2 applicazioni lineari, $x,y$ due vettori, possiamo dire che $ (A\vecx)*(B\vecy)^T = (A*B\vecx)\vecy^T $?. Un saluto ed un grazie anticipato A.

Buongiorno, ho qualche dubbio su una dimostrazione riguardante la caratterizzazione degli iperpiani. Definizione: Un sottospazio $H$ di uno spazio vettoriale $V$ si dice iperpiano se esiste un'applicazione lineare non nulla $f:V\to K$ tale che $H=ker(f).$ Proposizione: Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K.$ Sia $H$ iperpiano allora risulta $H ne V$ e $forall v notin H$ vale ...

Ciao a tutti Ho questa matrice: [tex]R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex] devo calcolare l'immagine: [tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1& 0 & -2 \end{bmatrix}[/tex] e quindi lo span. Io ho sottratto all'ultima riga la prima, così da ottenere: [tex]\displaystyle Im(R)= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0& -2 & -2\end{bmatrix}[/tex] dove quindi le ultime due righe sono linearmente dipendenti, perciò il rango è 2, ma ...

Buonasera, ho un esercizio il quale ho provato a svolgerlo da solo, ma non sono sicuro se l'ho svolto correttamente. Esercizio: Siano due matrici $A in K^(n,m)$ e $D in K^(n,l)$, esiste una matrice $B in K^(m,l)$ tale che $AB=D$ se e solo se ogni colonna di $D$ è combinazione lineare della colonne di $A.$ Svolgimento: Si ha una doppia implicazione, dunque, l'implicazione che va da sinistra verso destra, segue dalla definizione di prodotto righe ...

Buonasera, vi riporto una proposizione che discende dal teorema di Laplace: Sia $A in M_m(K)$ con $K$ campo, siano due indici $i,j=1,...,m$ con $i ne j$ allora $sum_(h=1)^m a_(ih)A_(jh)=a_(i1)A_(j1)+...+a_(im)A_(im)=0.$Dove con $A_(jh)=(-1)^(j+h)C_(jh)$ complemento algebrico dell'elemento $a_(jh)$ di $A$. Dimostrazione: Denotata con $B$ la matrice che si ottiene dalla matrice $A$ sostituendo la riga i-esima con la j-esima. La matrice ottenuta ha due righe ...

Ho bisogno di aiuto per capire la dimostrazione del teorema della proiezione. Sul libro di testo (e su wikipedia) il teorema è inteso solo come la parte d dell'enunciato che ci ha proposto la prof, e su quella non ho problemi. Per le altre 3 dimostrazioni invece si. La versione del teorema proposto dalla prof è la seguente. sia $ H \sub V^n $ sottospazio, $\bar{v} in V^n$. Allora: a) $\bar{v}$ si scrive in modo unico come $\bar{v}=\bar{v}_H+\bar{v}_{H^{_|_ }}$ con $\bar{v}_H in H$ e ...

Salve, oggi, a Geometria 1, abbiamo introdotto l'ampliamento proiettivo e l'ampliamento complesso del piano e abbiamo incominciato a vedere i primissimi risultati. Dopo la lezione, ci stavamo confrontando tra compagni (ovviamente a distanza) ed è uscito il dubbio se una curva chiusa (piana) potesse intersecare la retta impropria. Il dubbio è nato sulla considerazione che nel piano proiettivo reale, un'ellisse non interseca la retta. Io avevo pensato che se ci troviamo nel piano proiettivo ...

Salve ragazzi, mi rendo conto che la domanda sia molto banale ma volevo chiedervi una cosa del seguente problema: Si consideri l’insieme di $\mathbb R^n $composto da tutte le omotetie e da tutte le traslazioni : In quali casi $h_{c,\lambda}$ (omotetia di centro $c$ e rapporto $lamda$) commuta con una traslazione $t_u$ di vettore u? Mi hanno detto che c'è un caso in cui è vero , però non ho capito come agisce questa commutazione , cioè mi è chiaro che ...

Avrei bisogno di una mano con questo teorema che sembra essere sconosciuto al web. Il mio professore l'ha identificato come "teorema del supporto aciclico" e ha dato il seguente enunciato: "Siano $f,g: C_*(K)->C_*(L)$ due mappe aumentate di catene con $K,L$ simplessi. Si ha, inoltre, che $\forall \sigma \in K$: -$\exists \psi(\sigma) \subset C_*(L)$ sottocomplesso aciclico -$\f(\sigma),g\(\sigma) \in \psi(\sigma)$ -se $\sigma \subset \tau$ allora $\psi(\sigma)\subset \psi(\tau)$ allora esiste un'omotopia tra le mappe $f,g$. Prima di tutto ...

Buonasera! Ho un dubbio che riguarda i vettori ed i numeri complessi. Dato un numero complesso $z = a+bi$ , con $a,b in RR$, il suo complesso coniugato è: $bar(z)=a-bi$ Quello che mi chiedevo è: questo concetto come si estende ai vettori? Per esempio, dato il vettore $v$ così definito $v= ( ( -2+3i ),( 5-4i ),( 4 ),( 0 ) ) $ Qual è il complesso coniugato di $v$, ovvero $bar(v)$ ? $bar(v)$ è un vettore che ha, per ogni sua componente, il complesso ...

Ciao, ho un dubbio sull'ultima parte della dimostrazione del teorema di rouche capelli, quella che parla del numero di soluzioni del sistema (una soluzione/infinite soluzioni) Senza troppe premesse, sulla dimostrazione che ho studiato arrivo alla conclusione che dim(Sol(A|b)) = n - rk(A), e il paragrafo si conclude dicendo che "il numero delle soluzioni del sistema è uguale a n-rk(A) C.V.D" Non capisco però, perchè se n=rk(A) allora il numero delle soluzioni sarebbe uguale a 0, mentre il ...

Ciao a tutti, ho un dubbio su qualche dicitura. Data la matrice $A in RR^(3 xx 3)$ E' corretto dire che la matrice dei cofattori è: $COF(A)= ( ( Cof(A_11) , Cof(A_12) , Cof(A_13) ),( Cof(A_21) , Cof(A_22) , Cof(A_23) ),( Cof(A_31) , Cof(A_32) , Cof(A_33) ) ) $ ? Io ho sempre denominato "Cofattore della sottomatrice $A_(ij)$" il singolo elemento $Cof ( A_(ij))$ E' corretto? E, per completezza, è uguale a: $Cof ( A_(ij))= -1^(i+j) det(A_(ij))$ Dove $det(A_ij)$ è il determinante della sottomatrice di $A$ ottenuta eliminando l'i-esima riga e la j-esima colonna.

Ciao! Dovrei svolgere un semplice esercizio ma non mi riesce. Ve lo presento: [highlight]"Consideriamo un vettore con componenti dipendenti dal tempo $x(t) in RR^n$ ed una matrice $A in RR^(nxxn)$ Si consideri il seguente sistema:[/highlight] $ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( x_i(t)>=0 forall i ),( sum x_i(t)=gamma forall t),( gamma = text(costante) in RR\\ {0}):} $ [highlight]Dimostrare che $A$ ha un autovalore in zero, sfruttando il vettore $vec(1)^t$, ovvero il vettore con una riga ed $n$ colonne, con un $1$ in ogni elemento ...