[Esercizio] Esistono infiniti numeri primi
Ho scoperto di una bellissima prova topologica sull'infinità dei numeri primi di Furstenberg. Ve la propongo come esercizio:
Muniamo \( \mathbb{Z} \) della seguente topologia.
Sia \( A_{a,b} = \{ an +b \mid n \in \mathbb{Z} \} \). Diciamo che \( U \subset \mathbb{Z} \) è aperto se e solo se è vuoto oppure è scrivibile come unione di progressioni aritmetiche, i.e.
\[U = \bigcup_{j \in J} A_{a_j,b_j } \]
con \( a_j \neq 0 \) per ogni \(j \in J \).
a) Dimostrare che \( A_{a,b} \) è sia aperto che chiuso
b) Dimostrare che \( \{\pm 1 \} \) non è aperto
c) Dimostrare che
\[ \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{p \text{ primo} } A_{p,0} = \{ \pm 1 \} \]
d) Concludere che esistono infiniti numeri primi.
Muniamo \( \mathbb{Z} \) della seguente topologia.
Sia \( A_{a,b} = \{ an +b \mid n \in \mathbb{Z} \} \). Diciamo che \( U \subset \mathbb{Z} \) è aperto se e solo se è vuoto oppure è scrivibile come unione di progressioni aritmetiche, i.e.
\[U = \bigcup_{j \in J} A_{a_j,b_j } \]
con \( a_j \neq 0 \) per ogni \(j \in J \).
a) Dimostrare che \( A_{a,b} \) è sia aperto che chiuso
b) Dimostrare che \( \{\pm 1 \} \) non è aperto
c) Dimostrare che
\[ \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{p \text{ primo} } A_{p,0} = \{ \pm 1 \} \]
d) Concludere che esistono infiniti numeri primi.
Risposte
Non vorrei essere troppo cattivo: ma lo risolsi già questo esercizio 
qui 10 anni fa circa...
Però rilancio: dopo aver dimostrato che lo spazio di Früstenberg è metrizzabile, costruire esplicitamente tale metrica.
qui 10 anni fa circa...Però rilancio: dopo aver dimostrato che lo spazio di Früstenberg è metrizzabile, costruire esplicitamente tale metrica.
"j18eos":
Non vorrei essere troppo cattivo: ma lo risolsi già questo esercizio
Però rilancio: dopo aver dimostrato che lo spazio di Früstenberg è metrizzabile, costruire esplicitamente tale metrica.
Mannaggia... a te!
scherzo ovviamente, ci mancherebbe! Non sei stato cattivo, semplicemente mi era sfuggito che qualcuno già lo aveva proposto.
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