Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, volevo porvi un quesito generico: mettiamo che mi ritrovi a voler calcolare l'inversa di una matrice quadrata, un esercizio "banale" per chi si dovesse approcciare all'esame di algebra lineare. Il punto è che esistono diversi metodi tra cui scegliere e il mio quesito è questo, si può utilizzare una strada forse "non convenzionale" e usare il teorema di Cayley-Hamilton? O meglio, sapendo che il polinomio caratteristico esiste e che il termine noto è non nullo (il che implica che, ...
buona sera a tutti, non vorrei disturbare troppo in queste giornate di metà agosto, quindi sottopongo un semplice quesito banale (almeno per voi sono certo che sarà così). Mi trovo a studiare per l'esame di algebra lineare e geometria e mi sono inceppato in una questione riguardante gli endomorfismi triangolabili, ovvero:
"un operatore lineare $f:V \rightarrow V$ si dice triangolabile se e solo se esiste una base $v_1,...,v_n$ tale che per ogni indice $i$ il sottospazio ...
Ho letto il seguente problema; non ho la risposta ma mi sembra che neppure l'autore ce l'abbia
Una figura a simmetria centrale è tagliata in due poligoni uguali: A e B.
È possibile che il centro di simmetria stia in A ma non in B?
Cordialmente, Alex
Perdonate la domanda banale e forse un po' confusionaria.
Sto studiando le equazioni parametriche di un sottospazio proiettivo e mi si porta questo esempio:
Sia $P^2(\RR)$ con coordinate omogenee standard; siano $A=[1,2,0]$ e $B=[-1,1,3]$. La retta passante per A e B è il sottospazio proiettivo $r=L(A,B)=P(<1,2,0>,<-1,1,3>)$ e ha equazioni parametriche:
${ ( x_0=lambda-mu ),( x_1=2lambda+mu ),( x_2=3mu ):}$
Ponendo $v_1=e_0+2e_1+0e_3$ e $v_2=-e_0+e_1+3e_2$ (dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $\RR^3$) si ha che ...
Ciao,
la professoressa ha detto una cosa spiegando la traccia che non ho capito, io studio fisica e ha detto che in futuro questa proprietà sara' utile per la meccanica quantistica (di cui oa non so nulla).
Se rappresento un endomorfismo ssimmetrico con la matrice A in una base iniziale, posso ovviamente diagonalizzarla.
Ha detto che se si prende una base ortonormale qualsiasi (non per forza quella di autovettori) e tal matrice simmetrica allora $sum_i<a_i|A|a_i>$[nota]che poi è un prodotto ...
Ciao vorrei chiedervi una cosa:
se io ho una matrice rappresentativa di una applciazione lineare (chiamiamola A) rispetto a una base B, ora prendo una seconda base B' e scompongo i vettori colonna rispetto alla nuova base. Otterrò delle componenti (gli scalari) rispetto alla nuova base per ogni colonna. Se io ora inserisco tali scalari in una matrice M, mi chiedevo se ottengo una matrice rappresentativa della medesima applicazione lineare iniziale rispetto alla base B' oppure no.
Ma come ...
Carissimi, nella biblioteca di Babele descritta da Borges:
ciascun libro è di quattrocentodieci pagine; ciascuna pagina, di quaranta righe; ciascuna riga di quaranta lettere;
il numero dei simboli ortografici è di venticinque;
non ci sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici.
[/list:u:1zzchf3l]
I dati permettono di calcolare il numero di libri della Biblioteca. Esso è dato dalle possibili combinazioni (con ripetizioni) di 25 simboli su 410 × 40 × 40 posti, un numero circa uguale a ...
Ciao, vorrei chiedere una cosa sulle forme bilineari.
In teoria so che la forma bilineare non dipende dalla base, nel senso che è un concetto che puo fare a meno del concetto di base dello spazio vettroiale.
però ho un dubbio, se io prendo v=ai+bj e w=mi+nj definisco un siffatto prodotto scalare: f(v,w)=3a*m+b*n ecco che ho un problema perché l'ho definito usando la scomposizione dei vettori sulla base {i,j}; ma ovviamente dovrebbe esserne slegato. Ma come lo mostro? Quasi sempre definiamo ...
Stavo studiando la teoria e mi sembra di aver capito questa genialata della mappa di Gauss. Però non capisco un conto pratico e vorrei chiedervi un aiuto così mi metto a fare qualche esercizio nei prox giorni,a consolidamento e sicuramente chiederò un po' dato che sto avanzando sul libro ma con pochi esercizi proposti.
Partiamo dalla semplice ed eloquente sfera per fare un esempio concreto e tangibile[nota]e tangente [/nota]:
$(x,y,sqrt(1-x^2-y^2))$ mi trovo il versore normale semplicemente ...
Studiando ho trovato questa proposizione non dimostrata:
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.
In particolare =>
Questo mi sembra sempre vero a prescindere dal I assioma, infatti:
Io so per Hp che ${x_n}$ in ...
Ciao ragazzi, cerco qualcuno che possa darmi una mano su un esercizio che ho trovato su una vecchia scheda di esercizi per cui purtroppo non c'è la soluzione guidata e mi sono incastrato
1. Sia $f : S → R$ una funzione differenziabile tale che, per ogni
punto$ p ∈ S, df(p) = 0$. Si mostri che f e' costante.
2. Siano $S1, S2, S3$ superfici come sopra. Siano $f : S1 → S2,<br />
g : S2 → S3$ mappe differenziabili. Sia $g ◦ f : S1 → S3$ la mappa ottenuta per
composizione. Mostrare che ...
Buongiorno,
stavo cercando un forum dove porre due esercizi per cui sono bloccato, sto seguendo un corso di geometria e ho studiato la teoria ma sono bloccato al lato pratico, e spero in qualche aiuto da qualcuno
Avrei un primo esercizio molto base dove si chiede:
Calcolare la curvatura Gaussiana del cilindro $x^2+y^2=R^2$
il mio problema è che conosco la mappa di gauss e il suo differenziale, ma in questo caso pratico non so come intervenire per calcolarla. Vorrei quindi chiedere un ...
Come anticipato avrei un secondo esercizio di cui mi piacerebbe discutere e avere una dritta.
mi si chiede di:
Trovare una isometria locale esplicita tra piano e cilindro. Confrontare la loro curvatura Gaussiana e media.
Di nuovo qui so cosa è una isometria ossia è un diffeomorfismo $phi$ tra due superfici, tale che il suo differenziale in ogni punto $dphi_p:T_pS_1->T_(phi(p))S_2$ sia una isometria in senso geometrico.
Ma non mi viene minimamente in mente quale mappa trovare che sia ...
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio di geometria/algebra ma non riesco a venirne fuori e chiedo quindi gentilmente il vostro aiuto
Ecco il testo:
Costruire due rette sghembe che distano tra loro 1, la prima passante per l’origine, l’altra per il punto A(-1,0,0).
Ho provato a scrivere un po' di equazioni, ma non ne vengo fuori:
equazioni delle rette passante per i 2 punti:
r: x=lt; y=mt; z=nt
s; x=-1 +m’t’; y=m’t’; z=n’t’
condizione affinche’ le rette siano sghembe:
mn’-m’n ...
Ciao a tutti voi, vorrei chiedere un aiuto su questo esercizio perché l'ho lasciato indietro essendomi completamente bloccato. Molti mi sono venuti ma questo non ho grandi idee
Sia \( p = (x_0, y_0, z_0) \in S \). Dimostrare che:
1. Se \( S = f^{-1}(0) \), per qualche funzione regolare \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), allora \( T_pS \) ha equazione
\[
\nabla f(p) \cdot (x, y, z) = 0
\]
(oppure: \( \nabla f(p) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \), intendendo il ...
Salve, cerco un aiuto perché vorrei dimostrare un asserto che mi sembra vero e mi sono costruito nello studio della teoria, cioè:
Dimostrare che la topologia generata da una distanza soddisfa il primo assioma di numerabilità, l’assioma T2 (spazio di Hausdorff), e che le sue successioni convergenti sono di Cauchy.
Il fatto è che non riesco bene a capire come fare, sono cose che ho appena studiato e non padroneggio ancora alla perfezione. Potreste gentilmente aiutarmi ad arrivare a ...
Ciao a tutti sto seguendo il libro di Algebra Lineare di Lang. Questo è l'esercizio 10, tratto dal paragrafo 14 del capitolo 3. Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia $ M $ una matrice $ nxx n $ tale che $ M^T=M $. Assegnati due vettori colonna nell' $ n $-spazio, siano essi $ A $ e $ B $, si definisca $ \langle A,B \rangle $ come il prodotto $ A^TMB $. (Si identifichi una matrice $ 1xx 1 $ con un numero.) ...
Ciao, ho il seguente problema, determinare la soluzione $\mathbf{c} \in RR^{n+1}$ nel senso dei minimi quadrati del seguente sistema
$\mathbf{Ac+r=y}$ dove $\mathbf{A} \in RR^{m+1,n+1}, \mathbf{y,r} \in RR^{m+1}$.
Sul libro da cui sto studiando viene fatta la seguente affermazione
E' ovvio che se $m>n$ l'eventuale soluzione ottima nel senso dei minimi quadrati non può dare che $r_i=0$ per ogni $i=0,1,...,m$.
Per dimostrare questa affermazione procedo nel seguente modo
Suppongo che la soluzione ottima esista e ...
Ciao, dopo un messaggio di pochi giorni fa vorrei scriverne un altro. Infatti, finiti gli esami sto approfondendo da autodidatta alcune cose di geometria dato che a ingegneria ne abbiamo meno di zero e sono qui a tediarvi.
Ho questo esercizio che mi lascia innervosito perché non mi viene mi aiutereste a capire come fare?
S è la superficie
Sia $p=(x,y,z)$ un generico punto di $S$.Sia $f:S→R$ la funzione $f(p)=z^2$.Dimostrare che il suo ...
Buongiorno a tutti, vorrei chiedere delucidazioni sui seguenti esercizi di topologia. In particolare per alcuni vorrei sapere se i miei ragionamenti sono utili o incompleti o errati, e nel caso come porvi rimedio. Per altri invece ho proprio necessità di una spinta per capire come partire.
Esercizio 1
Si considerino gli insiemi per $n \geq 1$ intero positivo:
$$C = \bigcup_n C_n \qquad C_n = \{(x, y) \in\mathbb{R}^2: \frac{1}{2n} \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq ...
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