Matrice per applicazione lineare
Ciao,
mi ritrovo con un dubbio di algebra lineare che non capisco come risolvermi.
La mia idea è questa prendiamo un'applicazione lineare non suriettiva, dato che le colonne della matrice rappresentativa sono una base per l'immagine mi accorgo di questo fatto: posso scrivere la matrice rappresentativa con una base più piccola (cioè che non copre tutto il codominio ma solo lo spazio immagine) ma questo mi crea i seguenti dubbi:
se ad esmepio ho una applicazione A non suriettiva da R3 a R3 ho una matrice 3x3. La matrice la ottengo ad esempio perendendo la stessa base B per dominio e codominio.
Ora dato che le colonne linearmente indipendenti sono meno di 3 allora la sua immagine posso scriverla anche in una base B' più piccola in dimensionalità di B.
Se ora scrivo la matrice rappresentativa per B B' avro una matrice di dimensione diversa dalla precedente.
Ma così facendo perdo la possibilità di portarmi dalla matrice rappresentativa all'altra tramite matrice cambiamento di base P e sua inversa perché avendo due matrici rappresentanti A di dimensione diversa non saranno più quadrate le P.
Tuttavia le matrici rappresentative per uan stessa applicazione A sono tutte in teoria connesse da cambi di base e quindi qualcosa non quadra. Però allo stesso tempo mi sembra corretto dire che se l'immagine non copre tutto V allora mi è lecito poter ridurre la dimensione della base di arrivo e scrivere una matrice con quella base.
Non capisco come risolvermi questo problema.
mi ritrovo con un dubbio di algebra lineare che non capisco come risolvermi.
La mia idea è questa prendiamo un'applicazione lineare non suriettiva, dato che le colonne della matrice rappresentativa sono una base per l'immagine mi accorgo di questo fatto: posso scrivere la matrice rappresentativa con una base più piccola (cioè che non copre tutto il codominio ma solo lo spazio immagine) ma questo mi crea i seguenti dubbi:
se ad esmepio ho una applicazione A non suriettiva da R3 a R3 ho una matrice 3x3. La matrice la ottengo ad esempio perendendo la stessa base B per dominio e codominio.
Ora dato che le colonne linearmente indipendenti sono meno di 3 allora la sua immagine posso scriverla anche in una base B' più piccola in dimensionalità di B.
Se ora scrivo la matrice rappresentativa per B B' avro una matrice di dimensione diversa dalla precedente.
Ma così facendo perdo la possibilità di portarmi dalla matrice rappresentativa all'altra tramite matrice cambiamento di base P e sua inversa perché avendo due matrici rappresentanti A di dimensione diversa non saranno più quadrate le P.
Tuttavia le matrici rappresentative per uan stessa applicazione A sono tutte in teoria connesse da cambi di base e quindi qualcosa non quadra. Però allo stesso tempo mi sembra corretto dire che se l'immagine non copre tutto V allora mi è lecito poter ridurre la dimensione della base di arrivo e scrivere una matrice con quella base.
Non capisco come risolvermi questo problema.
Risposte
CIa0, benvenuta\o.
A seguire, mi confondo nell'interpretarti, e per ciò mi fermo.
"castoroz":Se non riesci a risolverti, si vede che hai un problema.
Ciao,
mi ritrovo con un dubbio di algebra lineare che non capisco come risolvermi. [...]
"castoroz":Falso!, sono un sistema di generatori.
[...] prendiamo un'applicazione lineare [...] dato che le colonne della marice rappresentativa sono una base per l'immagine [...]
A seguire, mi confondo nell'interpretarti, e per ciò mi fermo.
Ciao, grazie per il benvenuto.
In effetti mi sono espresso male, sono un sistema di generatori. Quello che volevo dire è che posso estrarne una base e quindi nessuno mi vieta di usare quella base come base di arrivo, cioè la mia idea è sfruttare quella base estratta dalle colonne per scrivere la matrice rappresentativa di A sulla base dell'immagine di A.
Quello che noto però è che essendo non suriettiva se A:V1->V2 allora l'immagine di A ha dim(Im(A))
Tuttavia sia la matrice rapresentativa di A scritta con la base di V2 che quella scritta con la base dell'immagine è equamente valida, ma se una è di dimensione diversa dall'altra non posso più connettere le due matrici rappresentative di A tramite matrice cambiamento di base e questa è una cosa strana, se sono entrambe matrici che rappresentano la stessa A.
Come funzna quindi la faccenda?
In effetti mi sono espresso male, sono un sistema di generatori. Quello che volevo dire è che posso estrarne una base e quindi nessuno mi vieta di usare quella base come base di arrivo, cioè la mia idea è sfruttare quella base estratta dalle colonne per scrivere la matrice rappresentativa di A sulla base dell'immagine di A.
Quello che noto però è che essendo non suriettiva se A:V1->V2 allora l'immagine di A ha dim(Im(A))
Tuttavia sia la matrice rapresentativa di A scritta con la base di V2 che quella scritta con la base dell'immagine è equamente valida, ma se una è di dimensione diversa dall'altra non posso più connettere le due matrici rappresentative di A tramite matrice cambiamento di base e questa è una cosa strana, se sono entrambe matrici che rappresentano la stessa A.
Come funzna quindi la faccenda?
L'inghippo è nella formalità: una qualsiasi funzione \(\displaystyle f\colon S\to T\) è diversa dalla funzione \(\displaystyle f^{|Im(f)}\colon S\to Im(f)\)... pensaci un po'! 
Sì in effetti sono diverse, perché ne cambio il codominio.
Però non so perché pensavo dovessi in qualche modo ottenere la medesima matricie: in sostanza la risposta al mio dubbio sarebbe che "hanno matrici diverse e ovviamente non potranno essere connesse da marici cambiamenti di base (le due matrici rappresentative) proprio perché la restrizione all'immagine è una funzione diversa". Corretto?
Però non so perché pensavo dovessi in qualche modo ottenere la medesima matricie: in sostanza la risposta al mio dubbio sarebbe che "hanno matrici diverse e ovviamente non potranno essere connesse da marici cambiamenti di base (le due matrici rappresentative) proprio perché la restrizione all'immagine è una funzione diversa". Corretto?
Esatto; poi, nel caso delle applicazioni lineari non suriettive, diminuisce pure la dimensione del codominio se ti co-restringi allo spazio vettoriale immagine!
diminuisce pure la dimensione del codominio se ti co-restringi allo spazio vettoriale immagine!esatto! che era quello che non mi tornava e cercavo di dire prima. Però non mi ero in effetti accorto che avere una dimensione più piccola per la corestrizione (e quindi una matrice di dimensione diversa che rappresenta quella applicazione) non è un gran problema, perché tanto: quando mi restringo ho per le mani una mappa diversa quindi poco mi crea problemi se appunto mi cambia dimensione la matrice rappresentativa della coristretta rispetto a quella costruita sulla base iniziale (del codominio non ristretto originale), perché tant di base è una funzione diversa.
Cioè il mio probelma era proprio quella dimensione minore della corestrizione, ma non mi accorgevo che di fondo la coristretta è un'altra mappa quindi chisseneimpippa se la matrice rappresentativa che ne esce non ha la dimensionalità di quella originaria/non coristretta.
Era quello che mi mandava in fumo la mente
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