Domanda su forma bilineare
Ciao, vorrei chiedere una cosa sulle forme bilineari.
In teoria so che la forma bilineare non dipende dalla base, nel senso che è un concetto che puo fare a meno del concetto di base dello spazio vettroiale.
però ho un dubbio, se io prendo v=ai+bj e w=mi+nj definisco un siffatto prodotto scalare: f(v,w)=3a*m+b*n ecco che ho un problema perché l'ho definito usando la scomposizione dei vettori sulla base {i,j}; ma ovviamente dovrebbe esserne slegato. Ma come lo mostro? Quasi sempre definiamo forme bilineari in questo modo quindi è comodo capirlo.
In teoria so che la forma bilineare non dipende dalla base, nel senso che è un concetto che puo fare a meno del concetto di base dello spazio vettroiale.
però ho un dubbio, se io prendo v=ai+bj e w=mi+nj definisco un siffatto prodotto scalare: f(v,w)=3a*m+b*n ecco che ho un problema perché l'ho definito usando la scomposizione dei vettori sulla base {i,j}; ma ovviamente dovrebbe esserne slegato. Ma come lo mostro? Quasi sempre definiamo forme bilineari in questo modo quindi è comodo capirlo.
Risposte
Vedo un po' di fare chiarezza...
Benvenuta\o!
Fissi una base di uno spazio vettoriale \(2\)-dimensionale, scrivi in vettori secondo le componenti in questa base, e definisci una forma bilineare su tale spazio vettoriale.
...e?
Benvenuta\o!
Fissi una base di uno spazio vettoriale \(2\)-dimensionale, scrivi in vettori secondo le componenti in questa base, e definisci una forma bilineare su tale spazio vettoriale.
...e?
Nella base $B$ che hai scelto, $f$ agisce come \(({\scriptsize a \,\, b })
\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0\\0&1 \end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix} m\\n \end{smallmatrix}\right)\), quindi è completamente determinata: in un'altra base $B'$, la matrice di $f$ sarà $P^tFP$ se $P$ è il cambio di base da $B$ a $B'$.
\left(\begin{smallmatrix} 3 & 0\\0&1 \end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix} m\\n \end{smallmatrix}\right)\), quindi è completamente determinata: in un'altra base $B'$, la matrice di $f$ sarà $P^tFP$ se $P$ è il cambio di base da $B$ a $B'$.
grazie mille per le risposte.
rispondo a entrambi partendo da qui
Dall'altra risposta comprendo quindi che in effetti dipenda dalla base la definizione data ma poi non ne dipenda (e lo mostro) perché posso sempre trovare la matrice P di cambiamento di base in pratica.
Ma ora mi chiedo c'è un modo alternativo di definire quella forma bilineare da me esposta nel primo messaggio in modo che non sia definita tramite alcuna base? o devo per forza fare come ho fatto io e sfruttarne una inizialmente.
rispondo a entrambi partendo da qui
Fissi una base di uno spazio vettoriale 2-dimensionale, scrivi in vettori secondo le componenti in questa base, e definisci una forma bilineare su tale spazio vettoriale.e niente volevo capire perché si definisse con una base dato che in teoria la forma bilineare prescindeva dall'uso di una base, di fato era solo quna funzione $f:VxxV->RR$, del tipo $f(avecv+bvecv',vecw)=af(vecv+vecw)+bf(vecv'+vecw)$ e non ci vedevo nessunissimo utilizzo di basi....
...e?
Dall'altra risposta comprendo quindi che in effetti dipenda dalla base la definizione data ma poi non ne dipenda (e lo mostro) perché posso sempre trovare la matrice P di cambiamento di base in pratica.
Ma ora mi chiedo c'è un modo alternativo di definire quella forma bilineare da me esposta nel primo messaggio in modo che non sia definita tramite alcuna base? o devo per forza fare come ho fatto io e sfruttarne una inizialmente.
Non credo ti sia chiaro qualcosa di fondamentale riguardo a cosa significa "[non] dipendere da una base"...
A me è stato definito come ho scritto: "cambiando base l'oggetto in questione non cambia", quindi come ho detto, cambiando base non cambia la forma bilineare nel senso che $F'=P^tFP$ e posso dimostrare che presi due vettori di $RR^$ cambiando la oro rappresentazione cambiando a loro volta base quando moltiplicati per la matrice F' danno lo stesso risultat dei primi vettori colonna moltiplicati per F.
Non ho capito perché ciò sia sbagliato potresti spiegarmelo per favore
Io comunque non stavo chiedendo questo, io chiedevo dato che c'è questa invarianza per le basi posso in qualche modo definire $f(v,w)=3a*m+b*n $ seza far uso di alcuna base?
E' una domanda un po' diversa dall'invarianza che dicevo sopra, io sto solo chiedendo se ci possa essere un modo di esprimenre quella forma bilineare che ho definito usando una base (seppur invariante) SENZA far uso di basi, cioè un modo alternativo di desrivere la forma bilineare esposta.
Spero avrai tempo e modo di aiutarmi su queste due domande e ti ringrazio!
Non ho capito perché ciò sia sbagliato potresti spiegarmelo per favore
Io comunque non stavo chiedendo questo, io chiedevo dato che c'è questa invarianza per le basi posso in qualche modo definire $f(v,w)=3a*m+b*n $ seza far uso di alcuna base?
E' una domanda un po' diversa dall'invarianza che dicevo sopra, io sto solo chiedendo se ci possa essere un modo di esprimenre quella forma bilineare che ho definito usando una base (seppur invariante) SENZA far uso di basi, cioè un modo alternativo di desrivere la forma bilineare esposta.
Spero avrai tempo e modo di aiutarmi su queste due domande e ti ringrazio!
La tua domanda è analoga a questa: è possibile descrivere una sfera di raggio 1 diversamente dall'insieme dei punti \((x,y,z)\in\mathbb R^3\) tali che \(x^2+y^2+z^2=1\)? La risposta è sì, ovviamente è possibile, ma alcune caratterizzazioni saranno tautologiche, altre troppo convolute per essere utili.
Quello che nel caso delle forme bilineari aiuta è la loro classificazione -affine, euclidea o proiettiva- che ti permette di portare la tua conica/quadrica in una forma "standard" (nel tuo caso, una elisse).
Quello che nel caso delle forme bilineari aiuta è la loro classificazione -affine, euclidea o proiettiva- che ti permette di portare la tua conica/quadrica in una forma "standard" (nel tuo caso, una elisse).
Ho capito, quindi sostanzialmente è più utile definirla facendo uso di una base e amen, in pratica. Poi per il resto dimostro che non dipende dalla base e sono a posto.
Il dubbio mi era sorto perché alcune (forme bilinari) vengono definite senza base volendo, ma per quella (e ad essa affini) non trovavo modo di farlo se non appunto prendendone i coefficienti della base e moltiplicandoli.
Il dubbio mi era sorto perché alcune (forme bilinari) vengono definite senza base volendo, ma per quella (e ad essa affini) non trovavo modo di farlo se non appunto prendendone i coefficienti della base e moltiplicandoli.
"pistic":Ma in generale dipende sì dalla base. Puoi dare un esempio di forma bilineare la cui definizione non dipende dalla scelta di una base?
Poi per il resto dimostro che non dipende dalla base e sono a posto.
Non ho capito perché dici che dipende dalla base, mi pare che dalla definizione teorica sia indipendente:
$f:VxxV->RR$, del tipo $f(avecv+bvecv',vecw)=af(vecv+vecw)+bf(vecv'+vecw)$ (idem sull'altro ingresso) no?
Non si menziona la base, basta che sia una funzione che ha quella propriet+ di bilinearità.
Un esempio (non standard di f.biilin) sullo spazio $V:=[0,1])$ delle funzioni continue da $f:[0,1]->RR$ posso definire la fomra bilineare: $phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx$ e non uso basi
$f:VxxV->RR$, del tipo $f(avecv+bvecv',vecw)=af(vecv+vecw)+bf(vecv'+vecw)$ (idem sull'altro ingresso) no?
Non si menziona la base, basta che sia una funzione che ha quella propriet+ di bilinearità.
Un esempio (non standard di f.biilin) sullo spazio $V:=[0,1])$ delle funzioni continue da $f:[0,1]->RR$ posso definire la fomra bilineare: $phi(f,g)=int_(0)^(1)f(x)g(x)dx$ e non uso basi
Scusa mi sono espresso male.
La definizione generale di forma bilineare non dipende dalla scelta di una base, certo, questo è ovvio.
Ma quando definisci una specifica forma bilineare (come hai fatto nel tuo esempio), i casi sono due: o questa definizione non dipende dalla scelta di una base (come nel tuo esempio) oppure scegli una base per definirla.
Nel primo caso non c'è niente da dimostrare, la forma bilineare non dipende dalla scelta di una base semplicemente perché non hai usato una base per definirla.
Nel secondo caso la forma può dipendere dalla scelta di una base oppure no.
Quindi non capisco cosa intendi quando dici "dimostro che non dipende dalla base". Puoi farmi un esempio in cui dimostri che una specifica forma bilineare (definita usando una base) non dipende dalla scelta di una base?
La definizione generale di forma bilineare non dipende dalla scelta di una base, certo, questo è ovvio.
Ma quando definisci una specifica forma bilineare (come hai fatto nel tuo esempio), i casi sono due: o questa definizione non dipende dalla scelta di una base (come nel tuo esempio) oppure scegli una base per definirla.
Nel primo caso non c'è niente da dimostrare, la forma bilineare non dipende dalla scelta di una base semplicemente perché non hai usato una base per definirla.
Nel secondo caso la forma può dipendere dalla scelta di una base oppure no.
Quindi non capisco cosa intendi quando dici "dimostro che non dipende dalla base". Puoi farmi un esempio in cui dimostri che una specifica forma bilineare (definita usando una base) non dipende dalla scelta di una base?
OP, sei probabilmente confuso dal fatto che pensi che una forma bilineare sia un oggetto diverso da un elemento di uno spazio vettoriale. Ma una forma bilineare $g$ su $V$ non è nient'altro che un vettore in \(V^\lor\otimes V^\lor\) (\(V^\lor\) il duale di $V$), e in quanto tale non dipende da una base. Chiama questa, se vuoi, la definizione "intrinseca" di un vettore. Ora però, per rappresentare un vettore astratto ti serve scegliere una base di \(V^\lor\otimes V^\lor\) (la quale è determinata non appena scegli una base di $V$ e la base duale su \(V^\lor\), ma questo non è importante). In questa base, $g$ si esprime come una matrice, per i motivi che ti sono chiari (e che fanno capo all'isomorfismo \(V^\lor\otimes V^\lor\cong V^\lor\otimes V\cong \hom_k(V,V)\), ma anche questo non è importante).
L'integrazione su $[0,1]$ è un ottimo esempio: nella base canonica \(\{1,x,x^2,\dots\}\) la forma bilineare \(\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx\) ha "matrice" (che in realtà non puoi scrivere, ma ci capiamo)
\[\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \dots \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \dots \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \dots\\
\frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \frac{1}{10} & \dots\\
\frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \frac{1}{10} & \frac{1}{11} & \dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}\] mentre nella base \(\{1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3,\dots\}\) ha una espressione molto piu complicata (se \(p_n(x):=\sum_{i=0}^n x^i\) allora \(\langle p_n,p_m\rangle = (m+n+2) H_{m+n+1}-(m+1) H_m-(n+1) H_n-1\) dove \(H_k\) è il $k$-esimo numero armonico).
Adesso, tutta la tua confusione nasce perché è usuale in algebra lineare prendere un $k$-spazio vettoriale $V$ (di dimensione finita $n$, ora), dargli una base \(\mathcal B\) con cui i vettori sono tacitamente rappresentati come combinazioni lineari, che identifica $V$ a $k^n$, e usare da ora in poi solo $k^n$. Questo non preclude la possibilità di rappresentare alcune forme lineari o bilineari in maniera intrinseca, ma nella quasi totalità delle circostanze è difficile trovare una maniera geometrica di interpretare una data $g$ che è scritta in una base.
L'integrazione su $[0,1]$ è un ottimo esempio: nella base canonica \(\{1,x,x^2,\dots\}\) la forma bilineare \(\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx\) ha "matrice" (che in realtà non puoi scrivere, ma ci capiamo)
\[\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \dots \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \dots \\
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \dots\\
\frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \frac{1}{10} & \dots\\
\frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} & \frac{1}{10} & \frac{1}{11} & \dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}\] mentre nella base \(\{1,1+x,1+x+x^2,1+x+x^2+x^3,\dots\}\) ha una espressione molto piu complicata (se \(p_n(x):=\sum_{i=0}^n x^i\) allora \(\langle p_n,p_m\rangle = (m+n+2) H_{m+n+1}-(m+1) H_m-(n+1) H_n-1\) dove \(H_k\) è il $k$-esimo numero armonico).
Adesso, tutta la tua confusione nasce perché è usuale in algebra lineare prendere un $k$-spazio vettoriale $V$ (di dimensione finita $n$, ora), dargli una base \(\mathcal B\) con cui i vettori sono tacitamente rappresentati come combinazioni lineari, che identifica $V$ a $k^n$, e usare da ora in poi solo $k^n$. Questo non preclude la possibilità di rappresentare alcune forme lineari o bilineari in maniera intrinseca, ma nella quasi totalità delle circostanze è difficile trovare una maniera geometrica di interpretare una data $g$ che è scritta in una base.
Quindi non capisco cosa intendi quando dici "dimostro che non dipende dalla base". Puoi farmi un esempio in cui dimostri che una specifica forma bilineare (definita usando una base) non dipende dalla scelta di una base?credo di aver capito il fraintendimento, intendevo dire che il risultato della forma bilineare, ossia l'$RR$ che si ottiene come "risultato" non dipende dalla base, non intendecvo dire che la forma bilineare (o meglio la sua rappresentazione amtriciale) non ne dipendesse: ovviamente ne dipende quella!
meglio?
mentre @megas_archon mi sembra chiaro anche quello che dici, anche se usa strumenti a cui non sono molto avvezzo, in un primo corso di AL non se ne tratta molto ma conosco alcune cose per aver approfondito in solitaria.
C'è pero una cosa che non capisco e vorrei gentilmente chiederti: conosco il duale $V^V$, ma non ho capito perché piazzi la forma bilineare in $V^∨⊗V^∨$ e non in $V^V$ soltanto. A parte che non conosco quel simbolo ⊗, quindi se mi dai qualche dritta per approfondire lo farò volentieri (cioè di cosa si tratti
).Inoltre dicevo che pensavo la forma bilineare vivesse in $V^V$ in quanto essa quando fisso una delle due "entrate" manda vettori in numeri, quindi è a pieno diritto un elemento del duale (cioè una applicazione lineare da $V->RR$). Thx
non ho capito perché piazzi la forma bilineare in \(V^\lor ⊗V^\lor\) e non in \(V^V\) soltantoA parte che \(V^V\neq V^\lor := \hom_k(V,k)\), ma esiste una catena di identificazioni \[\text{Bil}(V\times V,k)\overset\star\cong\hom_k(V\otimes V,k) = (V\otimes V)^\lor \overset{\star\star}\cong V^\lor\otimes V^\lor\] per le quali $g$ corrisponde a un vettore \(g\in V^\lor\otimes V^\lor\), che si scrive come \(\sum_i a_i \alpha_i\otimes \beta_i\), dove \(\alpha_i,\beta_i\in V^\lor\) sono forme lineari, e \(a_i\in k\) sono scalari, di modo ché esso agisca come \(g(v,w)=\sum_i a_i \alpha_i(v) \beta_i(w)\in k\). Prova a costruire esplicitamente gli isomorfismi \((\star),(\star\star)\) e convinciti che non c'è nessuna magia.
se mi dai qualche dritta per approfondire lo farò volentierihttps://www.matematicamente.it/forum/vi ... 2#p8587282
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8566866
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8595561
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8656709
Con $V^V$ intendevo il duale, era solo un errore tipografico.
Per il resto per me è già magia capire il simbolo $⊗$ che onestamente nn ho mai visto e usi diffusamente, inoltre guardando i link devo capire anche cosa siano i simboli esoterici di bemolle e #.
Insomma temo mi serva un testo che delinei queste cosette di cui non ho preparazione, solo così potrei capirti.
Per il resto per me è già magia capire il simbolo $⊗$ che onestamente nn ho mai visto e usi diffusamente, inoltre guardando i link devo capire anche cosa siano i simboli esoterici di bemolle e #.
Insomma temo mi serva un testo che delinei queste cosette di cui non ho preparazione, solo così potrei capirti.
devo capire anche cosa siano i simboli esoterici di bemolle e #Sono semplicemente artifici notazionali. In ogni caso lo dico anche già lì:
Se cerchi "ortogonale+duale" in questo postaccio, dovresti trovare diverse persone (molte delle quali sono me) che spiegano questa faccenda ad asini e geni.
grazie per il link, me le studio un po' tutte
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