Piano tangente, esercizio che non so fare
Ciao a tutti voi, vorrei chiedere un aiuto su questo esercizio perché l'ho lasciato indietro essendomi completamente bloccato. Molti mi sono venuti ma questo non ho grandi idee
Sia \( p = (x_0, y_0, z_0) \in S \). Dimostrare che:
1. Se \( S = f^{-1}(0) \), per qualche funzione regolare \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), allora \( T_pS \) ha equazione
\[
\nabla f(p) \cdot (x, y, z) = 0
\]
(oppure: \( \nabla f(p) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \), intendendo il piano tangente passante per \( p \)). In altre parole, è lo spazio normale al vettore \( \nabla f(p) \).
2. Se \( S \) è il grafico di una funzione \( f = f(x, y) \), allora \( T_pS \) ha equazione
\[
z = f_x(p)x + f_y(p)y.
\]
L'ha lasciato il nostro prof, ma non ho proprio idea di come fare.
Sia \( p = (x_0, y_0, z_0) \in S \). Dimostrare che:
1. Se \( S = f^{-1}(0) \), per qualche funzione regolare \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), allora \( T_pS \) ha equazione
\[
\nabla f(p) \cdot (x, y, z) = 0
\]
(oppure: \( \nabla f(p) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \), intendendo il piano tangente passante per \( p \)). In altre parole, è lo spazio normale al vettore \( \nabla f(p) \).
2. Se \( S \) è il grafico di una funzione \( f = f(x, y) \), allora \( T_pS \) ha equazione
\[
z = f_x(p)x + f_y(p)y.
\]
L'ha lasciato il nostro prof, ma non ho proprio idea di come fare.
Risposte
Come è definito \(T_pS\)?
Ciao, grazie per aiutarmi 
.
Nel nostro caso $T_pS$ è definito per una generica superficie $S$ in $RR^3$ come $Im(dphi:R^2->R^3)$ con $phi$ la parametrizzazione della superficie e quindi $S=Im(phi)$.
Attendo altri aiuti cosi possiamo continuare, spero proprio di capirlo col tuo aiuto!
.Nel nostro caso $T_pS$ è definito per una generica superficie $S$ in $RR^3$ come $Im(dphi:R^2->R^3)$ con $phi$ la parametrizzazione della superficie e quindi $S=Im(phi)$.
Attendo altri aiuti cosi possiamo continuare, spero proprio di capirlo col tuo aiuto!
Giusto. E se la superficie è assegnata come fibra di un punto regolare di una funzione \(f : \Omega \to \mathbb R\) liscia? È anche \(T_pS = \ker \mathrm d_p f\). Ti è noto questo fatto?
Comunque... Vada per la parametrizzazione e per \(T_pS = \operatorname{im} \mathrm d_{(u_0,v_0)} \phi\), dove \(p = \phi(u_0,v_0)\). Riesci a dimostrare che \(\mathrm d_p f\) valutato in qualsiasi elemento dello spazio tangente fa zero sapendo che \(f(\phi(u, v)) = 0\) per ogni \((u,v)\)?
Comunque... Vada per la parametrizzazione e per \(T_pS = \operatorname{im} \mathrm d_{(u_0,v_0)} \phi\), dove \(p = \phi(u_0,v_0)\). Riesci a dimostrare che \(\mathrm d_p f\) valutato in qualsiasi elemento dello spazio tangente fa zero sapendo che \(f(\phi(u, v)) = 0\) per ogni \((u,v)\)?
"Indrjo Dedej":
Giusto. E se la superficie è assegnata come fibra di un punto regolare di una funzione \(f : \Omega \to \mathbb R\) liscia? È anche \(T_pS = \ker \mathrm d_p f\). Ti è noto questo fatto?
No, non mi era noto ma ho provato a ragionare così:
Essendo p punto regolare per definizione ha differenziale non nullo in p, inoltre so che $ker(df_p)={v in V | df_p(v)=0}$
Ora la rappresentazione di $df_p$ come matrice (tanto siamo in $RR^n$) è il gradiente $nablaf$
Quindi il genercio $v in ker(df_p) <=> df_p(v)=0 <=> nablaf*v=0$
A questo punto ricordando che il piano tangenete sono anche lo spazio di tutti i vettori tangenti a tutte le curve passanti nel punto p, e ricordando che $nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ con $gamma : dotgamma(0)_p=v$ quindi $d/(dt)[f(gamma(t))]=nablaf*dotgamma(0)=0$.
Quindi $dotgamma(0)$ è nel nucleo di $df_p$ e tutti i $dotgamma(0)$ sono tutti i vettori tangenti che costituiscono il piano tangente => il piano tangente è il nucleo.
Potrebbe andare? Che ne pensi? Non so se ci siano idee più furbe
"Indrjo Dedej":
Comunque... Vada per la parametrizzazione e per \(T_pS = \operatorname{im} \mathrm d_{(u_0,v_0)} \phi\), dove \(p = \phi(u_0,v_0)\). Riesci a dimostrare che \(\mathrm d_p f\) valutato in qualsiasi elemento dello spazio tangente fa zero sapendo che \(f(\phi(u, v)) = 0\) per ogni \((u,v)\)?
Questo non mi viene in mente posso chiederti come si fa? Non ho grandi idee.
L'unica cosa che notavo è che:
Come detto sopra. Dato che $df_p<=>nablaf$, l'immagine di una applicazione lineare è $nablaf(x)$ con x qualsiasi vettore. E quindi l'immagine è il prodotto: $nablaf*x$ sopra.
però non riesco a dedurre il perché sia nullo quel prodotto, cioè porlo =0
OSS: a posteriori capito perché è nullo, essendo il differenziale mai nullo, $nablaf$ è sempre diverso dal vettore 0, quindi si osserva che è ortogonale a tutti i v.
"curette":
Essendo p punto regolare per definizione ha differenziale non nullo in p, inoltre so che $ker(df_p)={v in V | df_p(v)=0}$
Ora la rappresentazione di $df_p$ come matrice (tanto siamo in $RR^n$) è il gradiente $nablaf$
Quindi il genercio $v in ker(df_p) <=> df_p(v)=0 <=> nablaf*v=0$
Va bene.
Per quanto riguarda l'impiego della parametrizzazione, se prendo \(w \in T_pS\), allora \(w = \mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi (u, v)\) per qualche \((u, v)\) del dominio della parameteizzazione. Quindi \(\mathrm d_p f (w) = \mathrm d_p f \left(\mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi (u, v)\right) = ...\) Come continui?
"curette":Per la prima parte volevo chiederti, dato che ho visto che hai quotato solo in parte non ho capito se va bene solo quella o anche questa seconda (che mi sembra fondamentale per dire chè é il pianto tangente il ker, perché devo aggrapparmi al concetto di curve e velocità che sono i vettori tangent. Quindi è corretta anche questa parte?
A questo punto ricordando che il piano tangenete sono anche lo spazio di tutti i vettori tangenti a tutte le curve passanti nel punto p, e ricordando che $nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ con $gamma : dotgamma(0)_p=v$ quindi $d/(dt)[f(gamma(t))]=nablaf*dotgamma(0)=0$.
Quindi $dotgamma(0)$ è nel nucleo di $df_p$ e tutti i $dotgamma(0)$ sono tutti i vettori tangenti che costituiscono il piano tangente => il piano tangente è il nucleo.
*****
Per la seconda, cioe delle parametrizzazioni, azzardo perché non so nemmeno io dove voglio andare a parare:
\(\mathrm d_p f (w) = \mathrm d_p f \left(\mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi (u)\right) = \) $d_pf((partialphi)/(partialu)) =$ $d_pf(nablaphi*dotu)$
non lo so sto scrivendo la stessa cosa in modi diversi
ma mi passano solo palle di fieno del far west nella mente. Mi sa che non ci arrivo.
"curette":Per la prima parte volevo chiederti, dato che ho visto che hai quotato solo in parte non ho capito se va bene solo quella o anche questa seconda (che mi sembra fondamentale per dire chè é il pianto tangente il ker, perché devo aggrapparmi al concetto di curve e velocità che sono i vettori tangent. Quindi è corretta anche questa parte?
[quote="curette"]
A questo punto ricordando che il piano tangenete sono anche lo spazio di tutti i vettori tangenti a tutte le curve passanti nel punto p, e ricordando che $nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ con $gamma : dotgamma(0)_p=v$ quindi $d/(dt)[f(gamma(t))]=nablaf*dotgamma(0)=0$.
Quindi $dotgamma(0)$ è nel nucleo di $df_p$ e tutti i $dotgamma(0)$ sono tutti i vettori tangenti che costituiscono il piano tangente => il piano tangente è il nucleo.
[/quote] Se vuoi trovare l'equazione del piano tangente bastava fermarsi lì. Non serve ricordare che \(T_pS\) è lo spazio delle derivate in 0 delle curve che passano per \(p\).
"curette":Differenziale di una funzione composta. Pensa in termini di Jacobiane cosa vuol dire.
Per la seconda, cioe delle parametrizzazioni, azzardo perché non so nemmeno io dove voglio andare a parare:
\(\mathrm d_p f (w) = \mathrm d_p f \left(\mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi (u)\right) = \) $d_pf((partialphi)/(partialu)) =$ $d_pf(nablaphi*dotu)$
non lo so sto scrivendo la stessa cosa in modi diversi
Se vuoi trovare l'equazione del piano tangente bastava fermarsi lì. Non serve ricordare che TpS è lo spazio delle derivate in 0 delle curve che passano per p.So che sono scemo e mi detesterai
ma mi importa davvero capire, quindi ti chiedo una cosa qui ancora: io con la prima parte ho solo trovato i v che stanno nel $ker(df_p)$ ma questo non vuol dire ancora che sia il piano tangente. Io volevo dimostrare che lo fossero (dato che non mi era un fatto noto) e quindi ho agganciato a quei v le rispettive velocità di curve (che quello sì so essere i vettori che generano il piano tangente). Quindi la sola prima parte non mi sembra sufficiente per concludere quello che volevo. Come faccio se no a dire che i v sono i vettori del piano tangente? Non mi è chiaro ciò.Differenziale di una funzione composta. Pensa in termini di Jacobiane cosa vuol dire.E' vero, tarda sera per me ho detto fesserie. In relatà volevi suggerire tutt'altro ora che ci riguardo:
$nablaf*((phi_u^1,phi_v^1), (phi_u^2, phi_v^2), (phi_u^3,phi_v^3))$ (*) ora dovrebbe andare. Ma la mia domanda voleva essere: non vedo perché venga zero
L'unica cosa che mi viene in mente è che essendo $f(phi(u,v))=0$ in un certo intorno ha derivate parziali nulle in quei punti e quindi:
D'altra parte $(partialf)/(partialu)$ è nullo e sapendo che
$(partialf)/(partialu)$=(prodotto gradiente per prima colonna)=0
idem per seconda: $(partialf)/(partialv)=0$
Avrei il prodotto (*)$=(0,0)$
Però boh, non mi convince
ci ho provato.
Adesso rileggo, e posso capire un po' la tua confusione. Correggo la svista.
Non ho capito però cosa si può dire del mio ultimo messaggio, che è tutto sbagliato?
Volevo procedere nella faccenda
Volevo procedere nella faccenda
Se sai che \(T_pS\) è il nucleo di quel differenziale, la questione si chiude presto. Per questo ho detto che basta così.
Per quanto riguarda la parametrizzazione, quanto fa \(\mathrm d_{(u_0, v_0)}(f \circ \phi)\)? Lo jacobiano di \(f \circ \phi\) cosa è?
Per quanto riguarda la parametrizzazione, quanto fa \(\mathrm d_{(u_0, v_0)}(f \circ \phi)\)? Lo jacobiano di \(f \circ \phi\) cosa è?
"Indrjo Dedej":Ok perdonami ma sono stato poco chiaro. Quello che volevo dire è che non mi era noto che $T_pS$ è il nucleo di quel differenziale e quindi volevo mostrarlo. Quello era il senso.
Se sai che \(T_pS\) è il nucleo di quel differenziale, la questione si chiude presto. Per questo ho detto che basta così.
e chiedevo se così andasse bene come giustificazione anche del ker=TpS.E' ovvio che noto non c'era bisogno di giustificarlo, ma io dicevo che a me non era noto e quindi volevo giustificar(me)lo. Non so se c'era un modo migliore, ma volevo capire se il mio andasse bene. Quello stavo chiedendo!
"Indrjo Dedej":
Per quanto riguarda la parametrizzazione, quanto fa \(\mathrm d_{(u_0, v_0)}(f \circ \phi)\)? Lo jacobiano di \(f \circ \phi\) cosa è?
Pensavo fosse corretta la moltiplicazione matriciale scritta,
$f:RR^3->RR$ quindi avrei messo $nabla$ e quella più interna è la parametrizzazione quindi $(phi^1,phi^2,phi^3)$, quindi mi pareva quella matrice 2x3 scritta di la. Mi deve sfuggire qualche scemata. Mi sa che mi sono impallato qui.PS: solo per dire che la notazione è $phi_u=(partialphi)/(partialu)$ e io la valuto in $(u_0,v_0)$ tutta quella matrice 2x3.
Non riesco proprio a vedere l'errore che cerchi di indicarmi
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
temo che continuo a guardare il dito
Una cosa alla volta. Concentriamoci sulla parametrizzazione. Anche perché poi avrai anche la dimostrazione che \(T_pS = \ker \mathrm d_p f\).
Ok. Adesso che rileggo, va bene: hai calcolato lo jacobiano della composta \(f \circ \phi\). Ma quanto fa \(f \circ \phi\)? Non fa \(0\)? Quindi, se prosegui il conto che ti ho lasciato da completare hai \(\mathrm d_p f (w) = \mathrm d_{(u_0, v_0)} (f \circ \phi) = 0\).
Hai dimostrato anche che \(T_pS = \ker \mathrm d_p f\). Infatti:
1. \(\ker \mathrm d_p f\) e \(\operatorname{im} \mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi\) sono sottospazi vettoriali di dimensione 2.
2. \(\operatorname{im} \mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi \subseteq \ker \mathrm d_p f\).
3. Quindi i due spazi coincidono.
Ok. Adesso che rileggo, va bene: hai calcolato lo jacobiano della composta \(f \circ \phi\). Ma quanto fa \(f \circ \phi\)? Non fa \(0\)? Quindi, se prosegui il conto che ti ho lasciato da completare hai \(\mathrm d_p f (w) = \mathrm d_{(u_0, v_0)} (f \circ \phi) = 0\).
Hai dimostrato anche che \(T_pS = \ker \mathrm d_p f\). Infatti:
1. \(\ker \mathrm d_p f\) e \(\operatorname{im} \mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi\) sono sottospazi vettoriali di dimensione 2.
2. \(\operatorname{im} \mathrm d_{(u_0, v_0)} \phi \subseteq \ker \mathrm d_p f\).
3. Quindi i due spazi coincidono.
"curette":Se ho capito, tu dici: prendo un elemento qualsiasi della tangente, che è la derivata in 0 di una curva tracciata sulla superficie, e provo che sta in \(\ker \mathrm d_p f\). Quindi quello che provi è: che lo spazio tangente è incluso in questo kernel. Per concludere con l'uguaglianza potresti provare che questo kernel ha dimensione 2, come lo spazio tangente. Facile, giusto?
A questo punto ricordando che il piano tangenete sono anche lo spazio di tutti i vettori tangenti a tutte le curve passanti nel punto p, e ricordando che $nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ con $gamma : dotgamma(0)_p=v$ quindi $d/(dt)[f(gamma(t))]=nablaf*dotgamma(0)=0$.
Ma quanto fa f∘ϕ? Non fa 0?Ah giusto ma perché è zero in un intorno, voglio dire non è zero solo nel punto. Io ragionavo sostituendo il punto in sé e il fatto che fosse puntualmente zero non mi portava a concludere. Non ci avevo pensato! Il fatto che invece la funzione composta sia costantemente zero in un intorno mi porta a dire che la funzione è localmente costante => il differenziale è nullo.
Se ho capito, tu dici: prendo un elemento qualsiasi della tangente, che è la derivata in 0 di una curva tracciata sulla superficie, e provo che sta in kerdpfPiù che altro pensavo a questo ma non sono sicurissimo sia corretto:
io prendo un qualsiasi $v$ che sia nel ker
$v in ker(df_p) <=> df_p(v)=0 <=> nablaf*v=0$
Tuttavia da semplcie calcolo di analisi so che $nablaf*v$ si può ottenere per composizione con una qualsiasi curva che nel punto abbia velocità v, e per derivata di funzioni composte (in questo caso f e curva) si ha:
$nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ (questo per semplice uguaglianza analitica quindi)
ciò detto io ho dimostrato a lezione che ogni curva che ha velocità v nel punto è nel piano tangenge e di converso che ogni vettore del piano tangente è generato come velocità di una di tali curve.
Quindi in $nablaf*v=d/(dt)[f(gamma(t))]$ potendo scegliere arbitrariamente la curva $gamma$ che uso nella composizione, allora vado a generare tutti i v del piano tangente. Dici che non va?
Per la precisione fa sempre 0. Stai parlando della parametrizzazione di \(S = f^{-1}(0)\)...
Ah giusto ma perché è zero in un intorno, voglio dire non è zero solo nel punto.
Ah, va bene. Non lo so che percorso possa tu/tu* prof aver seguito.
io ho dimostrato a lezione che ogni curva che ha velocità v nel punto è nel piano tangenge e di converso che ogni vettore del piano tangente è generato come velocità di una di tali curve.
Quindi... Dove eravamo? La parte rimanente dell'esercizio?
La parte rimanente dell'esercizio?Sì, esatto, se hai ancora voglia mi interesserebbe molto!
Anche perché nonostante i pasticci che ho fatto sei stato fondamentale per capire (non avendouno straccio di soluzione ero totalmente perso
)
Intanto la \(f\) del punto 2 non è quella del punto 1. Scelta infelice... Adesso hai \(S = \left\{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid z = f(x, y) \right\}\). Riesci a scrivere \(S\) come \(g^{-1}(0)\) per qualche \(g : \Omega \to \mathbb R\) liscia che ha 0 come punto regolare?
Vediamo un po'
io voglio la superficie così determinata $S={(x,y,z)∈R^3∣z=f(x,y)}$, ponendo $g:=z-f(x,y)=0$ per definizione di controimmagine di $0$ $f^-1(0)={(x,y,z)|g(x,y,z)=z-f(x,y)=0}={(x,y,z)∈R^3∣z=f(x,y)}=S$ d'altra parte: $(partialg)/(partialz)=1!=0$ quindi è regolare.
ora per quanto dimostrato in 1.:
$(-f_x,-f_y,z)*(x,y,z)=0 => -f_xx-f_y+z=0$ Insomma è fatta!
io voglio la superficie così determinata $S={(x,y,z)∈R^3∣z=f(x,y)}$, ponendo $g:=z-f(x,y)=0$ per definizione di controimmagine di $0$ $f^-1(0)={(x,y,z)|g(x,y,z)=z-f(x,y)=0}={(x,y,z)∈R^3∣z=f(x,y)}=S$ d'altra parte: $(partialg)/(partialz)=1!=0$ quindi è regolare.
ora per quanto dimostrato in 1.:
$(-f_x,-f_y,z)*(x,y,z)=0 => -f_xx-f_y+z=0$ Insomma è fatta!
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