Inversa e Teorema di Cayley-Hamilton

[Thomson1]

Salve a tutti, volevo porvi un quesito generico: mettiamo che mi ritrovi a voler calcolare l'inversa di una matrice quadrata, un esercizio "banale" per chi si dovesse approcciare all'esame di algebra lineare. Il punto è che esistono diversi metodi tra cui scegliere e il mio quesito è questo, si può utilizzare una strada forse "non convenzionale" e usare il teorema di Cayley-Hamilton? O meglio, sapendo che il polinomio caratteristico esiste e che il termine noto è non nullo (il che implica che, se $A \in M_{n,n}(K)$, $det(A) \ne 0$) posso semplicemente moltiplicare ambo i membri, isolando $I$, per $A^{-1}$ e così determinarmi l'inversa? So che può sembrare un inutile modo di complicarsi la vita ma mi sono reso conto che in un esercizio complesso con più punti dove dovevo trovare ad esempio gli autovalori e alcune potenze di una matrice $A$ che effettivamente se tale strada fosse percorribile avevo praticamente più di metà del lavoro già fatto per trovare l'inversa e si trattava solo di sommare le potenze moltiplicate per opportuni scalari

[Studente Anonimo]

Sì certo, per esempio se $A^2+3A=I$ allora $A(A+3I)=I$ da cui $A^(-1)=A+3I$.

[Thomson1]

Ok fantastico, grazie mille