Domanda di algebra lineare
Ciao,
la professoressa ha detto una cosa spiegando la traccia che non ho capito, io studio fisica e ha detto che in futuro questa proprietà sara' utile per la meccanica quantistica (di cui oa non so nulla).
Se rappresento un endomorfismo ssimmetrico con la matrice A in una base iniziale, posso ovviamente diagonalizzarla.
Ha detto che se si prende una base ortonormale qualsiasi (non per forza quella di autovettori) e tal matrice simmetrica allora $sum_i$[nota]che poi è un prodotto come sotto[/nota] con $a_i$ base ortonormale qualsiasi si ottiene la traccia.
Non capisco però due cose:
1) gia non capisco perché con la base {a} di autovettori chiamiamola a si abbia $suma^TAa$ la traccia
2) e ancor peggio perché $sumi^TAi$ con {i} base ortonormle qualsiasi si abbia la traccia
Mi aiutereste a dimostrare queste due cose, ci ho provato ma non mi viene. L'unica idea "furba" è che so che la traccia è nvariante per similitudine e poi?
la professoressa ha detto una cosa spiegando la traccia che non ho capito, io studio fisica e ha detto che in futuro questa proprietà sara' utile per la meccanica quantistica (di cui oa non so nulla).
Se rappresento un endomorfismo ssimmetrico con la matrice A in una base iniziale, posso ovviamente diagonalizzarla.
Ha detto che se si prende una base ortonormale qualsiasi (non per forza quella di autovettori) e tal matrice simmetrica allora $sum_i
Non capisco però due cose:
1) gia non capisco perché con la base {a} di autovettori chiamiamola a si abbia $suma^TAa$ la traccia
2) e ancor peggio perché $sumi^TAi$ con {i} base ortonormle qualsiasi si abbia la traccia
Mi aiutereste a dimostrare queste due cose, ci ho provato ma non mi viene. L'unica idea "furba" è che so che la traccia è nvariante per similitudine e poi?
Risposte
ortonormale... rispetto a cosa? E' ovviamente falso: \(\sum \langle a_i, Aa_i\rangle\) è uguale alla dimensione dello spazio (che deve essere finita affinché questa somma abbia senso, senza ulteriori ipotesi sul dominio di $A$).
Invece, \(\sum \langle e_i, Ae_i\rangle = \sum A_{ii}\) è proprio la traccia di $A$. Questo è indipendente dalla base in cui scrivi $A$, dato che \(\text{tr}\) è invariante per cicli: \(\text{tr}(A')=\text{tr}(P^tAP)=\text{tr}(APP^t)=\text{tr}(A\cdot 1)=\text{tr}(A)\) se $A, A'=P^tAP$ sono matrici della stessa mappa lineare scritte in basi diverse.
Invece, \(\sum \langle e_i, Ae_i\rangle = \sum A_{ii}\) è proprio la traccia di $A$. Questo è indipendente dalla base in cui scrivi $A$, dato che \(\text{tr}\) è invariante per cicli: \(\text{tr}(A')=\text{tr}(P^tAP)=\text{tr}(APP^t)=\text{tr}(A\cdot 1)=\text{tr}(A)\) se $A, A'=P^tAP$ sono matrici della stessa mappa lineare scritte in basi diverse.
Ciao, grazie per la risposta.
Intendevo ortonormale rispetto al prodotto scalare che ho scelto per quello spazio come mio prodotto scalare.
Cioe definita una base e una ortogonalità per quel prodotto scalare, io se prendo un'altra base so che è ortonormale se ha la proprietà di ortonormalità per quel prodotto.
Non ho pero capito la tua spiegazione perché prima dici di no $∑⟨ai,Aai⟩$ (non è la traccia) però poi dici che $ ∑⟨ei,Aei⟩$ è la traccia. non ho capito cosa sono per te a e e.
Stanto ai miei appunti (e vorrei capire se sono estti perché nel momento in cui li ho redatti non ho caito un tubo) ho scritto che: presa una qualsiasi base ortonormale ai appunto se scrivo $sum_ia_i^TAa_i$ torvo la traccia. Mi pare di capire che sia falso?
E se bi sono una base di autovettori per A (simmetrica appunto) $sum_i B_i^TAb_i$ mi dà la traccia?
Non ho capito perdonami.
Intendevo ortonormale rispetto al prodotto scalare che ho scelto per quello spazio come mio prodotto scalare.
Cioe definita una base e una ortogonalità per quel prodotto scalare, io se prendo un'altra base so che è ortonormale se ha la proprietà di ortonormalità per quel prodotto.
Non ho pero capito la tua spiegazione perché prima dici di no $∑⟨ai,Aai⟩$ (non è la traccia) però poi dici che $ ∑⟨ei,Aei⟩$ è la traccia. non ho capito cosa sono per te a e e.
Stanto ai miei appunti (e vorrei capire se sono estti perché nel momento in cui li ho redatti non ho caito un tubo) ho scritto che: presa una qualsiasi base ortonormale ai appunto se scrivo $sum_ia_i^TAa_i$ torvo la traccia. Mi pare di capire che sia falso?
E se bi sono una base di autovettori per A (simmetrica appunto) $sum_i B_i^TAb_i$ mi dà la traccia?
Non ho capito perdonami.
Gli $a_i$ sono i vettori della base ortogonale che diagonalizza A. Gli $e_i$ sono i vettori della base canonica quando hai identificato il dominio di A con $k^n$.
"MrBeta":E' sufficiente pensare a quel che hai scritto: se \(g : V\times V\to k\) è una mappa bilineare simmetrica, diciamo che in una certa base \(\mathcal B=\{b_1,\dots,b_n\}\) essa abbia matrice $A$ (cioè \(A_{ij} = g(b_i, b_j) = A_{ji}\)). Allora (per il teorema spettrale, che per fortuna tu derubrichi a "ovvietà"!) $A$ è diagonalizzabile mediante una base di vettori ortogonali tra loro. Del resto ciò significa che $A$ è simile a una matrice diagonale, cioè che esiste una base \(\mathcal V =\{v_i,\dots,v_n\}\) in cui \(g\) si rappresenta come una matrice diagonale $A'$.
Stanto ai miei appunti (e vorrei capire se sono estti perché nel momento in cui li ho redatti non ho caito un tubo) ho scritto che: presa una qualsiasi base ortonormale ai appunto se scrivo $sum_ia_i^TAa_i$ torvo la traccia. Mi pare di capire che sia falso?
E se bi sono una base di autovettori per A (simmetrica appunto) $sum_i B_i^TAb_i$ mi dà la traccia?
Non ho capito perdonami.
Siccome la traccia non cambia sotto similitudine (per il già citato motivo che la traccia di un prodotto è invariante per permutazioni cicliche dei fattori), la traccia di $A$, cioè la somma degli elementi in diagonale, e la traccia di $A'$, devono coincidere. Del resto, la traccia di $A'$ è la somma dei suoi autovalori.
Uno può argomentare anche così: data $A$, la sua traccia è il coefficiente di grado \(n-1\) del suo polinomio caratteristico \(p_A(X)\) (in virtù delle formule di Viète), ossia la somma delle radici di \(p_A\), ossia la somma degli elementi in diagonale sia di $A$ che di $A'$, ossia (per motivi evidenti) \(\sum A_{ii} = \sum\langle e_i, Ae_i\rangle\), se $e_i$ è l'$i$-esimo vettore della base canonica di \(k^n\).
Poi, se prendi una base ortonormale \(\mathcal V^\nu=\{v_1^\nu,\dots, v_n^\nu\}\) per $A$ (per poterlo fare sempre, devi supporre $A$ complessa), è evidente che invece $A$ è diventata la matrice identica, per definizione di cosa significa ortonormale. Sicché \(\sum \langle v_i^\nu, A v_i^\nu\rangle = \sum 1\) è uguale ad $n$, non alla traccia di $A$.
C'è qualcosa che non mi torna.
Mi sembra che tu stia usando A come la matrice rappresenativa della forma bilineare per cui definisci l'ortonormalità rispetto a quella matrice/forma bilineare.
Ma la situazione delineata dalla prof mi sembra differente: lei assumeva un endomorfismo simmetrico che ha per matrice rappresentativa A.
Quindi
O non ho capito qualcosa io o mi sono spiegato male nella parte iniziale che ora ho ri-spiegato sul dubbio.
Ora, il calcolo è $sum_i a_i^TAa_i$ e stando a quello che avevo scritto se ${a_i}$(*) è base ortonormale rispetto al prodotto scalare per cui definisco l'endomorfismo simmetrico (non rispetto alla forma bilineare descritta da xAx). Secondo i miei appunti (*) era la traccia.
Il tuo discorso lo capisco, ma mi sembra che giustifichi il caso in cui ho per prodotto scalare/forma bilineare A, qui è diverso il dubbio. O non ho capito qualcosa della tua spiegazione.
Mi sembra che tu stia usando A come la matrice rappresenativa della forma bilineare per cui definisci l'ortonormalità rispetto a quella matrice/forma bilineare.
Ma la situazione delineata dalla prof mi sembra differente: lei assumeva un endomorfismo simmetrico che ha per matrice rappresentativa A.
Quindi
"megas_archon":questo discorso non va bene.
Poi, se prendi una base ortonormale \(\mathcal V^\nu=\{v_1^\nu,\dots, v_n^\nu\}\) per $A$ (per poterlo fare sempre, devi supporre $A$ complessa), è evidente che invece $A$ è diventata la matrice identica, per definizione di cosa significa ortonormale. Sicché \(\sum \langle v_i^\nu, A v_i^\nu\rangle = \sum 1\) è uguale ad $n$, non alla traccia di $A$.
O non ho capito qualcosa io o mi sono spiegato male nella parte iniziale che ora ho ri-spiegato sul dubbio.
Ora, il calcolo è $sum_i a_i^TAa_i$ e stando a quello che avevo scritto se ${a_i}$(*) è base ortonormale rispetto al prodotto scalare per cui definisco l'endomorfismo simmetrico (non rispetto alla forma bilineare descritta da xAx). Secondo i miei appunti (*) era la traccia.
Il tuo discorso lo capisco, ma mi sembra che giustifichi il caso in cui ho per prodotto scalare/forma bilineare A, qui è diverso il dubbio. O non ho capito qualcosa della tua spiegazione.
Dopo i tuoi messaggi che mihanno dato spunti, in effetti a ben pensarci credo sia vero perché: data una base $B={e_i}$ (la canonica) e $B'={a_i}$ (ortonormale qualsiasi)
Allora presa A matrice rappresentativa dell'endomorfismo simmetrico ho che:
$tr(A)=sum_i⟨e_i,Ae_i⟩$
Siccome ogni base ortonormale è riconducibile tramite matrice cambiamento di base a quella canonica ho che:
$a_i=M^(B,B')e_i$
$sum_i⟨a_i,Aa_i⟩=sum_i⟨(M^(B,B')e_i)^T,A(M^(B,B')e_i)⟩=sum_i⟨e_i,A'e_i⟩=tr(A')$, con A' simile ad A => la traccia di A' è uguale a quella di A essendo invariante per similitudine.
Funziona mi pare, no?
A latere: che poi il fatto che sia simmetrico mi pare inutile, basta sia endomorfismo e vale quella cosa.
Allora presa A matrice rappresentativa dell'endomorfismo simmetrico ho che:
$tr(A)=sum_i⟨e_i,Ae_i⟩$
Siccome ogni base ortonormale è riconducibile tramite matrice cambiamento di base a quella canonica ho che:
$a_i=M^(B,B')e_i$
$sum_i⟨a_i,Aa_i⟩=sum_i⟨(M^(B,B')e_i)^T,A(M^(B,B')e_i)⟩=sum_i⟨e_i,A'e_i⟩=tr(A')$, con A' simile ad A => la traccia di A' è uguale a quella di A essendo invariante per similitudine.
Funziona mi pare, no?
A latere: che poi il fatto che sia simmetrico mi pare inutile, basta sia endomorfismo e vale quella cosa.
Attendendo conferma che sia tutto giusto quanto sopra (spero 
)
)"megas_archon":rileggendo c'è solo una cosa che non ho capito di questo (anche se OT sull'argomento provo a chiedere): ho capito che è il coefficiente di grado n-1 per Viete, non ho capito però perché da viete deduciamo che "la somma delle radici di \(p_A\), è la somma degli elementi in diagonale sia di $A$ che di $A'$"
Uno può argomentare anche così: data $A$, la sua traccia è il coefficiente di grado \(n-1\) del suo polinomio caratteristico \(p_A(X)\) (in virtù delle formule di Viète), ossia la somma delle radici di \(p_A\), ossia la somma degli elementi in diagonale sia di $A$ che di $A'$
Perché il polinomio caratteristico di matrici simili è lo stesso. Per il resto, sì, probabilmente non ci siamo capiti prima, se ora hai capito, ci siamo capiti.
Volevo provare a ri-chiedere quest'ultima domanda...
Per quanto riguarda l'ultimo quote non mi è chiaro il ragionamento e mi incespico....
Io so che la traccia è la somma degli elementi sulla diagonale di una matrice A e A'. D'altra parte per viete la somma delle radici è il coefficiente del termine di deg=n-1 ed è anche la somma degli autovalori.
Ma questo termine non so ancora che è la traccia; guardando la matrice A' mi accorgo che però è la traccia di A' che tra l'altro essendo diagonale è anche la somma degli autovalori di tale matrice.
A questo punto so che la matrice A' ha traccia pari al termine di grado n-1, tuttavia dato che $P_A=P_A'$ allora so che il termine di grano n-1 di PA è uguale al termine di grado n-1 di PA'.
Ma come faccio a dire che è la traccia di A? Io so solo che è la somma degli autovalori di A e che equivale alla traccia di A' non ho ancora dimostrato che è la traccia di A che è utile per dire che trA=trA'
Per quanto riguarda l'ultimo quote non mi è chiaro il ragionamento e mi incespico....
Io so che la traccia è la somma degli elementi sulla diagonale di una matrice A e A'. D'altra parte per viete la somma delle radici è il coefficiente del termine di deg=n-1 ed è anche la somma degli autovalori.
Ma questo termine non so ancora che è la traccia; guardando la matrice A' mi accorgo che però è la traccia di A' che tra l'altro essendo diagonale è anche la somma degli autovalori di tale matrice.
A questo punto so che la matrice A' ha traccia pari al termine di grado n-1, tuttavia dato che $P_A=P_A'$ allora so che il termine di grano n-1 di PA è uguale al termine di grado n-1 di PA'.
Ma come faccio a dire che è la traccia di A? Io so solo che è la somma degli autovalori di A e che equivale alla traccia di A' non ho ancora dimostrato che è la traccia di A che è utile per dire che trA=trA'
Data una mappa lineare \(f : V\to V\) su uno spazio vettoriale finito, queste cose sono tutte equivalenti, a causa dell'invarianza per similitudine degli oggetti coinvolti:
1. \(\sum_{\alpha\in\text{Spec}(f)}\alpha\) dove \(\text{Spec}(f) := \{\alpha\in k\mid \ker(f-\alpha \cdot 1) \supsetneq (0)\}\);
2. La somma degli elementi in diagonale di una matrice rappresentativa di $f$, in una qualsiasi base di $V$ (questa quantità è invariante per cambio di base);
3. La quantità \(\sum_{i=1}^n \langle e_i,f(e_i)\rangle\) se una certa base ortonormale viene fissata su $V$ (questa quantità è ugualmente invariante per cambio di base);
4. il termine di grado \(n-1\) del polinomio caratteristico di $f$.
Dimostralo e penso che i tuoi dubbi saranno risolti. Spero.
1. \(\sum_{\alpha\in\text{Spec}(f)}\alpha\) dove \(\text{Spec}(f) := \{\alpha\in k\mid \ker(f-\alpha \cdot 1) \supsetneq (0)\}\);
2. La somma degli elementi in diagonale di una matrice rappresentativa di $f$, in una qualsiasi base di $V$ (questa quantità è invariante per cambio di base);
3. La quantità \(\sum_{i=1}^n \langle e_i,f(e_i)\rangle\) se una certa base ortonormale viene fissata su $V$ (questa quantità è ugualmente invariante per cambio di base);
4. il termine di grado \(n-1\) del polinomio caratteristico di $f$.
Dimostralo e penso che i tuoi dubbi saranno risolti. Spero.
grazie graziese.
Ci provo.
Ci provo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo