Non ho capito una cosa piuttosto banale della mappa di Gauss
Stavo studiando la teoria e mi sembra di aver capito questa genialata della mappa di Gauss. Però non capisco un conto pratico e vorrei chiedervi un aiuto così mi metto a fare qualche esercizio nei prox giorni,a consolidamento e sicuramente chiederò un po' dato che sto avanzando sul libro ma con pochi esercizi proposti.
Partiamo dalla semplice ed eloquente sfera per fare un esempio concreto e tangibile[nota]e tangente
[/nota]:
$(x,y,sqrt(1-x^2-y^2))$ mi trovo il versore normale semplicemente $(phi_x xx phi_y)/||phi_x xx phi_y||$con la mia bella base indotta dalla parametrizzazione che generan il loro amato piano tangente.
Ma poi io dovrei ricavarmi il differenziale della mappa di gauss: $dN_p$ e quindi ovviamente ricavare la matrice associata alla base ma.... dubbius: come si fa?
$N_p: S->S^2$
e
$dN_p:T_pS->T_(N_p)S^2≅T_pS$ che si smaschera essere un docile endomorfismo e fin qua ok.
Ma non capisco a conti fatti come trovarmi quel $dN_p$, nel mio esempio come si calcola?
Chiedo gentilmente aiuto
Partiamo dalla semplice ed eloquente sfera per fare un esempio concreto e tangibile[nota]e tangente
[/nota]:$(x,y,sqrt(1-x^2-y^2))$ mi trovo il versore normale semplicemente $(phi_x xx phi_y)/||phi_x xx phi_y||$con la mia bella base indotta dalla parametrizzazione che generan il loro amato piano tangente.
Ma poi io dovrei ricavarmi il differenziale della mappa di gauss: $dN_p$ e quindi ovviamente ricavare la matrice associata alla base ma.... dubbius: come si fa?
$N_p: S->S^2$
e
$dN_p:T_pS->T_(N_p)S^2≅T_pS$ che si smaschera essere un docile endomorfismo e fin qua ok.
Ma non capisco a conti fatti come trovarmi quel $dN_p$, nel mio esempio come si calcola?
Chiedo gentilmente aiuto
Risposte
Mi ricordo queste cose "meno del rapsodo più povero", ma probabilmente quello che devi fare è solo scrivere cos'è $N_p$ (e questo è facile: fai due derivate e il loro prodotto cross. Dopo, tratti $N_p$ come una qualsiasi mappa differenziabile, e il suo differenziale sarà una mappa tra i fibrati tangenti, che quindi indurrà un endomorfismo lineare per ogni piano tangente. Facendo due conti...
meno del rapsodo più povero
ti ho immaginato a rappresentare epici canti matematici.Esatto ma io mi perdo in qualcosa di molto idiota, perché io ho $N_p=(phi_x xx phi_y)/||phi_x xx phi_y||$ ma ora sta cosa par essere una mappa $(x,y)->(f_1(x,y),f_2,f_3)$ insomma $RR^2->RR^3$ il che già mi crea disagio perché dovrebbe essere da R3 a R3 mandando "punti in vettori", inoltre il differenziale sarà la jacobiana 3x2 se faccio le derivate pariali in x e y, ma mi aspetterei un qualcosa di quadrato 2x2. Non mi ritrovo proprio coni conti della serva. Sbaglio qualcosa di davvero stupido ma non capisco.
Inizia a scrivere le tre componenti di \(N_p\)!
Ok,
$(partialphi)/(partialy) xx (partialphi)/(partialx) = (x/sqrt(-x^2-y^2+1),-y/sqrt(-x^2-y^2+1),1)$
$||(partialphi)/(partialy) xx (partialphi)/(partialx)||=1/sqrt(-x^2-y^2+1)$
=> $N=(x,y,sqrt(-x^2-y^2+1))$
Poi?
$(partialphi)/(partialy) xx (partialphi)/(partialx) = (x/sqrt(-x^2-y^2+1),-y/sqrt(-x^2-y^2+1),1)$
$||(partialphi)/(partialy) xx (partialphi)/(partialx)||=1/sqrt(-x^2-y^2+1)$
=> $N=(x,y,sqrt(-x^2-y^2+1))$
Poi?
Scrivi la matrice jacobiana... attento a come insiersci i dati tra le righe e le colonne! 
Sappi che mi stai lasciando sulle spine per il finale XD....
E qui arriviamo proprio al punto che dicevo:
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
-x/\sqrt(-x^2-y^2+1) & -y/\sqrt(-x^2-y^2+1)
\end{pmatrix}
non è 2x2! ma il differenziale è un endomorfismo tra piani tangenti e ho dimensone 2
Euristicamente per trovare la matrice che mi aspetterei basterebbe "levare" l'ultima riga, perché avrei proprio le curvature principali 1 e 1 sulla diagonale, ma se così fosse perché equivale a eliminare l'ultima riga? Non lo capisco.
Ops: mi accorgo di un typo che correggo ho invertito nella scrittura ma intendevo 3x2. Ma non era quello il dubbio: ma quanto il fatto che non era quadrata.
E qui arriviamo proprio al punto che dicevo:
Esatto ma io mi perdo in qualcosa di molto idiota, perché io ho $N_p=(phi_x xx phi_y)/||phi_x xx phi_y||$ ma ora sta cosa par essere una mappa $(x,y)->(f_1(x,y),f_2,f_3)$ insomma $RR^2->RR^3$ il che già mi crea disagio perché dovrebbe essere da R3 a R3 mandando "punti in vettori", inoltre il differenziale sarà la jacobiana 3x2 se faccio le derivate parziali in x e y, ma mi aspetterei un qualcosa di quadrato 2x2E' questa parte che non capisco: io voglio $dN_p:T_pS->T_pS$ quindi qualcosa che va da $RR^2$ a $RR^2$, insomma quadrata, il differenziale della mappa che va da $S->RR^3$, o meglio dato che composta con la sua parametrizzazione va da $RR^2->RR^3$ è un qualcosa 3x2, appunto:
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
-x/\sqrt(-x^2-y^2+1) & -y/\sqrt(-x^2-y^2+1)
\end{pmatrix}
non è 2x2! ma il differenziale è un endomorfismo tra piani tangenti e ho dimensone 2
Euristicamente per trovare la matrice che mi aspetterei basterebbe "levare" l'ultima riga, perché avrei proprio le curvature principali 1 e 1 sulla diagonale, ma se così fosse perché equivale a eliminare l'ultima riga? Non lo capisco.
Ops: mi accorgo di un typo che correggo ho invertito nella scrittura ma intendevo 3x2. Ma non era quello il dubbio: ma quanto il fatto che non era quadrata.
Ora ho visto alcuni tuoi errori... In generale:
[list=1]
[*:13rqz5ml]Sia \(M\) una manifold \(n\)-dimensionale, allora \(T_pM\) ha dimensione \(n\) per ogni \(p\in M\).[/*:m:13rqz5ml]
[*:13rqz5ml]Sia \(N\colon M\to\mathbb{S}^2\) la mappa di Gauss, allora \(dN\colon TM\to T\mathbb{S}^2\). Dominio e codominio sono manifolds di dimensioni, rispettivamente, \(2n\) e \(4\).[/*:m:13rqz5ml]
[*:13rqz5ml]Sia \(p\in M\), ti interessa calcolare \(d_pN\colon T_pM\to T_{N(p)}\mathbb{S}^2\); implicitamente tu ragioni in coordinate locali, quindi ottieni una funzione lineare (per \(M=\mathbb{S}^1\)) \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\). Perché? Non ti lanciare sùbito in una risposta, ma pensaci un pochino.
[/*:m:13rqz5ml][/list:o:13rqz5ml]
[list=1]
[*:13rqz5ml]Sia \(M\) una manifold \(n\)-dimensionale, allora \(T_pM\) ha dimensione \(n\) per ogni \(p\in M\).[/*:m:13rqz5ml]
[*:13rqz5ml]Sia \(N\colon M\to\mathbb{S}^2\) la mappa di Gauss, allora \(dN\colon TM\to T\mathbb{S}^2\). Dominio e codominio sono manifolds di dimensioni, rispettivamente, \(2n\) e \(4\).[/*:m:13rqz5ml]
[*:13rqz5ml]Sia \(p\in M\), ti interessa calcolare \(d_pN\colon T_pM\to T_{N(p)}\mathbb{S}^2\); implicitamente tu ragioni in coordinate locali, quindi ottieni una funzione lineare (per \(M=\mathbb{S}^1\)) \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\). Perché? Non ti lanciare sùbito in una risposta, ma pensaci un pochino.
[/*:m:13rqz5ml][/list:o:13rqz5ml]
Grazie per l'aiuto. In effetti ora che mi fai porre attenzione avrei alcune domande e intanto rispondo anche alle tue importanti e utili osservazioni.
1) questo mi torna
2) ovviamente è vero se $N:M→S^2$ allora $dN:TM→TS^2$ è qualcosa che andrà da 2n a 2m, e per la sfera m=2.
3) tuttavia non capisco perché in effetti poi mi interessa $dN_p$ io dovrei calcolare come varia il "versore normale" idealmente, e $dN$ ci aiuta perché ci dice come varia n usando una mappa tra piani tangenti, qundi sarei interessato a $dN$ non tanto a $dN_p$ e invece di solito si calcola $dN_p$ why? questa cosa vorrei chiedertela perché in effetti mi sfugge.
ora ammesso di aver capito dopo la tua spiegazione quando la domanda su dN, proviamo a calcolare $dN_p:T_pM→T_(N(p))S^2$, mi chiedi perché ottengo una $RR^2->RR^3$ in realtà mi verrebbe da dire che è giusto perché$ T_pM$ ha dimensione 2, quindi è giusto $RR^2$ che poi è il piano generato dalle derivate parziali di $phi$ parametrizzazione (inoltre è coerente ciò con l'armamentario delle coordinate, infatti usando la parametrizzazione io ho già una mappa $R^2->M->S^2$ sicché il differenziale $dN_p$ partirà da $RR^2$)
Mentre per quanto riguara il codominio, ho una sfera immersa nello spazio ambiente $RR^3$ quindi è giusto che sia $RR^3$ il codominio. E' poi $Im(dN_p)$ ad essere $T_(N(p))S^2$.
Tutto giusto? Spero
Quindi riassumendo:
- mi manca di capire del punto 3) perché se sono interessato alla variazione di $vecN$ io non calcolo tanto $dN$ ma $dN_p$? (domanda che ponevo nel punto 3)
- e se la risposta che ti ho dato è giusta mi manca di capire un fatto: a me è stata definita la curvatura $K:=det(-dN_p)$ ma come faccio il determinante se è una matrice 3x2?. Questa era la domanda iniziale.
Aspetto risposte perché sono davvero curioso e voglio capire, grazie ancora.
1) questo mi torna
2) ovviamente è vero se $N:M→S^2$ allora $dN:TM→TS^2$ è qualcosa che andrà da 2n a 2m, e per la sfera m=2.
3) tuttavia non capisco perché in effetti poi mi interessa $dN_p$ io dovrei calcolare come varia il "versore normale" idealmente, e $dN$ ci aiuta perché ci dice come varia n usando una mappa tra piani tangenti, qundi sarei interessato a $dN$ non tanto a $dN_p$ e invece di solito si calcola $dN_p$ why? questa cosa vorrei chiedertela perché in effetti mi sfugge.
ora ammesso di aver capito dopo la tua spiegazione quando la domanda su dN, proviamo a calcolare $dN_p:T_pM→T_(N(p))S^2$, mi chiedi perché ottengo una $RR^2->RR^3$ in realtà mi verrebbe da dire che è giusto perché$ T_pM$ ha dimensione 2, quindi è giusto $RR^2$ che poi è il piano generato dalle derivate parziali di $phi$ parametrizzazione (inoltre è coerente ciò con l'armamentario delle coordinate, infatti usando la parametrizzazione io ho già una mappa $R^2->M->S^2$ sicché il differenziale $dN_p$ partirà da $RR^2$)
Mentre per quanto riguara il codominio, ho una sfera immersa nello spazio ambiente $RR^3$ quindi è giusto che sia $RR^3$ il codominio. E' poi $Im(dN_p)$ ad essere $T_(N(p))S^2$.
Tutto giusto? Spero
Quindi riassumendo:
- mi manca di capire del punto 3) perché se sono interessato alla variazione di $vecN$ io non calcolo tanto $dN$ ma $dN_p$? (domanda che ponevo nel punto 3)
- e se la risposta che ti ho dato è giusta mi manca di capire un fatto: a me è stata definita la curvatura $K:=det(-dN_p)$ ma come faccio il determinante se è una matrice 3x2?
. Questa era la domanda iniziale.Aspetto risposte perché sono davvero curioso e voglio capire
, grazie ancora.
In attesa della risposta a quanto sopra non ho ben capito prché $M=S^1$ (una circonferenza unitaria?)? il dominio di $phi$ parametrizzazione non è un $U$ aperto di $RR^2$?
[ot]Anche oggi sono di corsa...[/ot]Mi son distratto: tu stai studiando la mappa di Gauss di \(\displaystyle\mathbb{S}^2\)!
Hai una parametrizzazione del tipo
\[
\mathbb{R}^2\hookleftarrow U\to\mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb{S}^2\hookrightarrow\mathbb{R}^3
\]
ove \(U\) è un sottoinsieme aperto, la seconda freccia è \(f\) è la terza freccia è \(N\).
Passando al differenziale, ottieni una mappa lineare \(T_{(x,y)}U\cong\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\cong T_{f(x,y)}\mathbb{R}^3\) data dalla matrice jacobiana che tu hai calcolato!
...dopodiché, non ho capìto su cosa tu abbia ancóra qualche dubbio!
Hai una parametrizzazione del tipo
\[
\mathbb{R}^2\hookleftarrow U\to\mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb{S}^2\hookrightarrow\mathbb{R}^3
\]
ove \(U\) è un sottoinsieme aperto, la seconda freccia è \(f\) è la terza freccia è \(N\).
Passando al differenziale, ottieni una mappa lineare \(T_{(x,y)}U\cong\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\cong T_{f(x,y)}\mathbb{R}^3\) data dalla matrice jacobiana che tu hai calcolato!
...dopodiché, non ho capìto su cosa tu abbia ancóra qualche dubbio!
Il mio dubio è quello iniziale ma che temo di non essere riuscito a spiegare benissimo.
Come dici tu io ho ottenuto quella matrice jacobiana che è il differenziale di $dN_p$, ma è una matrice 3x2 mentre io vorrei una matrice 2x2 e non so come aggiustare questa cosa.
Inoltre mi serve 2x2 per due semplici motivi:
1) perché è una mappa da spazio bidimensionale a spazio bidimensionale (è una mappa tra piani tangenti)
2) molto importante a livello pratico io ho bisogno di calcolare il determinante di quelle matrici! perché il determinante è la curvatura. Ma se nn è 2x2 nn posso
Quindi, come diamine si rende 2x2 XD
Come dici tu io ho ottenuto quella matrice jacobiana che è il differenziale di $dN_p$, ma è una matrice 3x2 mentre io vorrei una matrice 2x2 e non so come aggiustare questa cosa.
Inoltre mi serve 2x2 per due semplici motivi:
1) perché è una mappa da spazio bidimensionale a spazio bidimensionale (è una mappa tra piani tangenti)
2) molto importante a livello pratico io ho bisogno di calcolare il determinante di quelle matrici! perché il determinante è la curvatura. Ma se nn è 2x2 nn posso
Quindi, come diamine si rende 2x2 XD
La matrice che tu hai determinato ha rango \(2\), quindi la sua immagine ha dimensione \(2\)!, e non ci sono problemi.
D'altra parte, volendo una matrice \(2\times2\), devi ragionare usando il diagramma
\[
U\rightarrow\mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb{S}^2\leftarrow V
\]
ove \(U,V\subseteq\mathbb{R}^2\) sono aperti che parametrizzano localmente \(\mathbb{S}^2\) e la mappa di mezzo è la mappa di Gauss.
In alternativa (e qui sono scemo io), basta notare che in questo caso la mappa di Gassu è l'identità, per cui...
D'altra parte, volendo una matrice \(2\times2\), devi ragionare usando il diagramma
\[
U\rightarrow\mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb{S}^2\leftarrow V
\]
ove \(U,V\subseteq\mathbb{R}^2\) sono aperti che parametrizzano localmente \(\mathbb{S}^2\) e la mappa di mezzo è la mappa di Gauss.
In alternativa (e qui sono scemo io), basta notare che in questo caso la mappa di Gassu è l'identità, per cui...
Sì ovviamente in questo caso è l'identità ma non volevo soffermarmi sull'esercizio in sé, ma il discorso generale... non mi importava il risultato ma il ragionamento.
Per quanto riguarda il rango ci sono, e anche su U→S2→S2←V, l'errore è che non andavo a invertire la parametrizzazione della sfera di gauss e tornare cosi in V in $R^2$
Comunque, ciò detto, resta il punto che nel mio caso avevo trovato una matrice 3x2, e di quella non posso fare il determinante che era ciò che mi importava, capisco che il rango sia 2 e va benissimo. Però se mi trovo una matrice 3x2 con rango 2 ne ricavo ben poco sul fattore "trovare il detenrimante di dNp", mi accorgo però che eliminando l'ultima riga trovo proprio la matrice identità 2x2 voluta... ma è un caso? non credo, mi sfugge però perché basti eurisitcamente eliminare semplicemente l'ultima riga per ricondurmi a quanto di mio interesse. perché?
Per quanto riguarda il rango ci sono, e anche su U→S2→S2←V, l'errore è che non andavo a invertire la parametrizzazione della sfera di gauss e tornare cosi in V in $R^2$
Comunque, ciò detto, resta il punto che nel mio caso avevo trovato una matrice 3x2, e di quella non posso fare il determinante che era ciò che mi importava, capisco che il rango sia 2 e va benissimo. Però se mi trovo una matrice 3x2 con rango 2 ne ricavo ben poco sul fattore "trovare il detenrimante di dNp", mi accorgo però che eliminando l'ultima riga trovo proprio la matrice identità 2x2 voluta... ma è un caso? non credo, mi sfugge però perché basti eurisitcamente eliminare semplicemente l'ultima riga per ricondurmi a quanto di mio interesse. perché?
"A naso" direi che sei in un caso fortunato!
Non penso che con un ellissoide "il trucco" funzioni!
Non penso che con un ellissoide "il trucco" funzioni!
@j18eos: grazie mille! Potrei chiederti un'ultima cosetta?
Mi hai fatto giustamente notare che $N:S->S^2$ e fin qua ottimo. Poi mi hai fatto riflettere sul fatto che $dN:TS->TS^2$ quindi tra fibrati.
Messa così la faccenda mi sembra interessarmi più $dN$ che $dN_p$ e qui viene il dilemma. Io però quando valuto la variazione della mappa di gauss guardo $dN_p:T_S->T_(N(p))S^2$ che è una mappa la quale mi sembra più valutare la variazione dei vettori sul piano tangente in quei punti piuttosto che la variazione dell'intera mappa $N$, ma io sarei piuttosto interessato a vedere come variano i piani tangenti al variare di p.
Insomma qualcosadi analogo a: io ho $f:R->R$ e $df:R->$, quando fisso $df(x)$ io valuto $df$ nel punto x $forallx$, e $df(x)$ è un valore numerico che cambiando i valori di x mi dà la variazione della f.
Qui io ho $dN_p$ che è una mappa e non un valore numerico a fissato p. Fissando di volta in volta i vettori tangenti del piano Tps in quel dato punto $dN_p(v)$ diventa un valore numerico e variando $v$ ritrovo come varia la mappa $N_p$, insomma $dN_p$ mi sembra dare la variazione di $N_p$ più che di $N$.
Non capisco cosa sbaglio.
Mi hai fatto giustamente notare che $N:S->S^2$ e fin qua ottimo. Poi mi hai fatto riflettere sul fatto che $dN:TS->TS^2$ quindi tra fibrati.
Messa così la faccenda mi sembra interessarmi più $dN$ che $dN_p$ e qui viene il dilemma. Io però quando valuto la variazione della mappa di gauss guardo $dN_p:T_S->T_(N(p))S^2$ che è una mappa la quale mi sembra più valutare la variazione dei vettori sul piano tangente in quei punti piuttosto che la variazione dell'intera mappa $N$, ma io sarei piuttosto interessato a vedere come variano i piani tangenti al variare di p.
Insomma qualcosadi analogo a: io ho $f:R->R$ e $df:R->$, quando fisso $df(x)$ io valuto $df$ nel punto x $forallx$, e $df(x)$ è un valore numerico che cambiando i valori di x mi dà la variazione della f.
Qui io ho $dN_p$ che è una mappa e non un valore numerico a fissato p. Fissando di volta in volta i vettori tangenti del piano Tps in quel dato punto $dN_p(v)$ diventa un valore numerico e variando $v$ ritrovo come varia la mappa $N_p$, insomma $dN_p$ mi sembra dare la variazione di $N_p$ più che di $N$.
Non capisco cosa sbaglio.
...devi capire che il dominio e il codominio di \(dN\) sono fibrati vettoriali, e quindi punto per punto ragioni con spazi vettoriali diversi (ma di medesima dimensione)!
"kaiz":
Insomma qualcosadi analogo a: io ho $f:R->R$ e $df:RR->RR$, quando fisso $df(x)$ io valuto $df$ nel punto x $forallx$, e $df(x)$ è un valore numerico che cambiando i valori di x mi dà la variazione della f.
Qui io ho $dN_p$ che è una mappa e non un valore numerico a fissato p. Fissando di volta in volta i vettori tangenti del piano Tps in quel dato punto $dN_p(v)$ diventa un valore numerico e variando $v$ ritrovo come varia la mappa $N_p$, insomma $dN_p$ mi sembra dare la variazione di $N_p$ più che di $N$.
Non capisco cosa sbaglio.
In realtà quello che dici mi pare chiaro, ma mi stonava l'analogia con questo nel quote per via del fatto che ho, come dicevo, una funzione nel daso dN
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