Funzione differenziabile superficie
Ciao ragazzi, cerco qualcuno che possa darmi una mano su un esercizio che ho trovato su una vecchia scheda di esercizi per cui purtroppo non c'è la soluzione guidata e mi sono incastrato
1. Sia $f : S → R$ una funzione differenziabile tale che, per ogni
punto$ p ∈ S, df(p) = 0$. Si mostri che f e' costante.
2. Siano $S1, S2, S3$ superfici come sopra. Siano $f : S1 → S2,
g : S2 → S3$ mappe differenziabili. Sia $g ◦ f : S1 → S3$ la mappa ottenuta per
composizione. Mostrare che $g ◦ f$ e’ differenziabile e che
$d(g ◦ f)(p) = dg(f(p)) ◦ df(p)$
Non è che avreste voglia di darmi qualche aiuto?
1. Sia $f : S → R$ una funzione differenziabile tale che, per ogni
punto$ p ∈ S, df(p) = 0$. Si mostri che f e' costante.
2. Siano $S1, S2, S3$ superfici come sopra. Siano $f : S1 → S2,
g : S2 → S3$ mappe differenziabili. Sia $g ◦ f : S1 → S3$ la mappa ottenuta per
composizione. Mostrare che $g ◦ f$ e’ differenziabile e che
$d(g ◦ f)(p) = dg(f(p)) ◦ df(p)$
Non è che avreste voglia di darmi qualche aiuto?
Risposte
Usa le parametrizzazioni per ricondurti a quello che sai delle derivate di $RR^2$.
Ci ho provato un po' ma credo di essere proprio bloccato.
Perche se io paramerizzo con un $psi$ la S avrei: $psi∘f$, però lì chiede $df(p)$, inoltre non mi è chiaro se anche facessi $d(f∘psi)$ cos otterrei, erchéio vorrei f costante.
Posso chiedert qualche dettaglio in più per favore? Grazie mille.
Perche se io paramerizzo con un $psi$ la S avrei: $psi∘f$, però lì chiede $df(p)$, inoltre non mi è chiaro se anche facessi $d(f∘psi)$ cos otterrei, erchéio vorrei f costante.
Posso chiedert qualche dettaglio in più per favore? Grazie mille.
Per esempio per la 1, se $\psi:RR^2->S$ è una parametrizzazione di $S$ in $p$, $0=df(x)=d(f\circ\psi^(-1))(\psi^(-1)(x))$ per ogni $x\in\psi(RR^2)$, che si può riformulare ponendo $y=\psi^(-1)(x)$, e diventa $d(f\circ\psi^(-1))(y)=0AAy\inRR^2$. Da questo cosa concludi?
ma $x∈ψ(R^2)$? A me pareva di capire che $x in RR^2$ credo di non aver capio quel passaggio.
Inoltre credo di avere un dubbio anche qui: $d(f∘ψ^-1)(y)=0∀y∈R^2$, perchè per tutto $RR^2$ in teoria non sarebbe $∀y∈psi^-1(S)=U$ con U qualche aperto di $RR^2$.
Detto questo mi par di poter dedurre che se ho $d(f∘ψ^-1)(y)=0$ => $f∘ψ^-1=$costante, quidni f è costante almento sull'immagine di $psi$ che è S. Quindi ho costanza di f su S?
Va bene? risponderei così, e poi volevo chiederti quelle due cose che non mi tornano che ho indicato.
Spero avrai tempo di rispondermi. E grazie mille!
Inoltre credo di avere un dubbio anche qui: $d(f∘ψ^-1)(y)=0∀y∈R^2$, perchè per tutto $RR^2$ in teoria non sarebbe $∀y∈psi^-1(S)=U$ con U qualche aperto di $RR^2$.
Detto questo mi par di poter dedurre che se ho $d(f∘ψ^-1)(y)=0$ => $f∘ψ^-1=$costante, quidni f è costante almento sull'immagine di $psi$ che è S. Quindi ho costanza di f su S?
Va bene? risponderei così, e poi volevo chiederti quelle due cose che non mi tornano che ho indicato.
Spero avrai tempo di rispondermi. E grazie mille!
$x\inS$, non in $RR^2$. Mentre $y$ sta nel dominio di $\psi$, quindi vale per tutto $RR^2$. L'immagine di $\psi$ non è $S$, ma un intorno aperto di $p$.
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