Trovare Imf dove f è un endomorfismo da R^3 in R^3
Salve a tutti, sto approcciando alcuni esercizi su endomorfismi e matrici associate.
In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore.
Ho un endomorfismo $f: R^3 -> R^3$, associato alla matrice:
$M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1))$
devo trovare $Imf$. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche)
Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango $2$, pertanto $Imf$ ha dimensione $2$ (teorema del rango).
Secondo quello che ho studiato, l'insieme $Imf$ dovrebbe essere costituito da due vettori della matrice linearmente indipendenti, pertanto pensavo che fossero i vettori $(0,1,0)$ e $(0,-2,-1)$, invece il prof. trova che:
$Imf = L {(0,1,0), (0,0,1)}$
Non riesco a capire perchè il secondo vettore è diverso.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo, Emanuele
In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore.
Ho un endomorfismo $f: R^3 -> R^3$, associato alla matrice:
$M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1))$
devo trovare $Imf$. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche)
Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango $2$, pertanto $Imf$ ha dimensione $2$ (teorema del rango).
Secondo quello che ho studiato, l'insieme $Imf$ dovrebbe essere costituito da due vettori della matrice linearmente indipendenti, pertanto pensavo che fossero i vettori $(0,1,0)$ e $(0,-2,-1)$, invece il prof. trova che:
$Imf = L {(0,1,0), (0,0,1)}$
Non riesco a capire perchè il secondo vettore è diverso.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo, Emanuele
Risposte
non c'è niente che non vada
in generale,un sottospazio ha infinite basi
semplicemente,tu ed il tuo prof avete scelto due basi diverse di $Imf$
in generale,un sottospazio ha infinite basi
semplicemente,tu ed il tuo prof avete scelto due basi diverse di $Imf$
Grazie, immaginavo la tua risposta, ma appunto volevo una conferma
prego
comunque la tua scelta mi sembra più logica di quella fatta dal docente
comunque la tua scelta mi sembra più logica di quella fatta dal docente
Infatti in tutti gli esempi ho trovato che si prendono i vettori della matrice associata. Questa differenza mi ha causato perplessità anche se mi ha fatto ricordare che $Imf$ di $R^2$ può essere una qualunque base costituita da due vettori.
O forse non è così?
Insomma, qual'è la procedura corretta per trovare $Imf$?
O forse non è così?
Insomma, qual'è la procedura corretta per trovare $Imf$?
forse la parola "corretta" non è quella giusta,ma sicuramente quella più veloce è quella che hai visto negli esempi e che hai adottato tu stesso
@emanuele,
di solito se non e' specificato rispetto a quale base e' associata la matrice dell'endomorfismo significa solamente che e' rispetto alla canonica, il tuo docente prende quei due vettori della base canonica di \( \mathbb{R}^3\) perche' gli e' lecito farlo ma nulla vieta di prendere altre basi.... sai perche' gli e' lecito farlo?
Saluti
"emanuele78":
Salve a tutti, sto approcciando alcuni esercizi su endomorfismi e matrici associate.
In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore.
Ho un endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $, associato alla matrice:
$ M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1)) $
devo trovare $ Imf $. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche)
Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango $ 2 $, pertanto $ Imf $ ha dimensione $ 2 $ (teorema del rango).
Secondo quello che ho studiato, l'insieme $ Imf $ dovrebbe essere costituito da due vettori della matrice linearmente indipendenti, pertanto pensavo che fossero i vettori $ (0,1,0) $ e $ (0,-2,-1) $, invece il prof. trova che:
$ Imf = L {(0,1,0), (0,0,1)} $
Non riesco a capire perchè il secondo vettore è diverso.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo, Emanuele
di solito se non e' specificato rispetto a quale base e' associata la matrice dell'endomorfismo significa solamente che e' rispetto alla canonica, il tuo docente prende quei due vettori della base canonica di \( \mathbb{R}^3\) perche' gli e' lecito farlo ma nulla vieta di prendere altre basi.... sai perche' gli e' lecito farlo?
Saluti
"garnak.olegovitc":
@emanuele,
[quote="emanuele78"]Salve a tutti, sto approcciando alcuni esercizi su endomorfismi e matrici associate.
In un esercizio ho riscontrato alcune difficoltà perchè non mi trovo con la soluzione data dal professore.
Ho un endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $, associato alla matrice:
$ M(f) = ((0,0,0),(-1,1,-2),(0,0,-1)) $
devo trovare $ Imf $. (Nell'esercizio non mi si dice rispetto a quale base sia stata calcolata la matrice associata, deduco rispetto alle basi canoniche)
Calcolando il determinante noto che la matrice ha rango $ 2 $, pertanto $ Imf $ ha dimensione $ 2 $ (teorema del rango).
Secondo quello che ho studiato, l'insieme $ Imf $ dovrebbe essere costituito da due vettori della matrice linearmente indipendenti, pertanto pensavo che fossero i vettori $ (0,1,0) $ e $ (0,-2,-1) $, invece il prof. trova che:
$ Imf = L {(0,1,0), (0,0,1)} $
Non riesco a capire perchè il secondo vettore è diverso.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo, Emanuele
di solito se non e' specificato rispetto a quale base e' associata la matrice dell'endomorfismo significa solamente che e' rispetto alla canonica, il tuo docente prende quei due vettori della base canonica di \( \mathbb{R}^3\) perche' gli e' lecito farlo ma nulla vieta di prendere altre basi.... sai perche' gli e' lecito farlo?
Saluti[/quote]
Provo ad abbozzare una risposta.
Innanzitutto definiamo cosa è una base. Base è un insieme di vettori l.i che generano lo spazio vettoriale.
Inoltre l'insieme delle matrici $K_(m,n)$ con la somma ed il prodotto è uno spazio vettoriale.
Anche $Hom(V,V')$ (con V,V' spazi vettoriali) insieme degli endomorfismi $f: V-> V'$ è uno spazio vettoriale con la somma ed il prodotto ad elementi nel campo $K$.
Sappiamo inoltre che se $V$ è uno spazio vettoriale e $B =[v_1,v_2,..........v_n]$ una sua base allora ogni altro vettore $w$ di $V$ può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base.
Infine sia $\varphi$ l'applicazione tale che $\varphi: Hom(V,V')->K_(m,n)$, definta ponendo per ogni $f in Hom(V,V')$, $\varphi(f) = M(f)$ rispetto alle basi $B$ e $B'$, è un'isomorfismo di spazi vettoriali. Teorema dell'Isomorfismo.
Per quanto abbiamo detto sappiamo che due vettori di dimensione $3X1$ l.i. costituiscono una base che generano lo spazio vettoriale delle matrici $K_(3,2)$. Poichè lo generano è ovvio che ogni altro vettore di questo spazio vettoriale può essere generato come combinazione lineare dei vettori di base.
Inoltre poichè esiste un'isomorfismo tra lo spazio vettoriale degli endomorfismi e lo spazio vettoriale delle matrici ad esse associate, se ne deduce che presi comunque due elemnti $l.i$ di dimensione $3X1$ essi appartengono a $Imf$
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