Problema di Geometria analitica 3 anno LS - La circonferenza

[raffaele19651]

Ciao a tutti.

Ho bisogno di aiuto per un quesito di geometria analitica.

Data la circonferenza di equazione $x^2+y^2+2x-6y+8=0$, nel fascio proprio di rette di centro P (-1,1) determina le rette che staccano sulla circonferenza una corda di misura $2*sqrt(6/5)$.

Ho provato a fare il metodo classico, mettendo a sistema l'equazione del fascio di rette per P e la circonferenza ma i calcoli sono davvero lunghi.

C'è un modo alternativo più comodo?

Grazie.

Carola

[Epimenide93]

Per alleggerire i calcoli potresti cambiare sistema di riferimento piazzando l'origine in un punto più comodo, per poi applicare la trasformazione inversa al risultato. (Le traslazioni del sistema di riferimento sono un argomento che suppongo abbiate fatto, in caso contrario mi sa che ti toccano i barbari conti; oppure puoi prendere spunto dall'esercizio per approfondire l'argomento per conto tuo, dal mio punto di vista è meglio spendere quindici minuti per imparare qualcosa di nuovo che quindici minuti in calcoli inutilmente pesanti ) Secondo te qual è il punto più conveniente per fare ciò?

[ot]Mi sa che comunque la sezione più adatta per questo topic è quella dedicata alla Secondaria di II Grado [/ot]

[raffaele19651]

Grazie per i consigli.

Accidenti che formule, Epimenide! Ma quale programma usi per svolgere questi calcoli? Sono curiosa.

Ad ogni modo, voglio allegare un link della Zanichelli.
Bergamini spiega ad un alunno un problema simile, ma io non sono riuscita ad applicare al mio problema questa spiegazione.

http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2013/04/04/un-problema-di-geometria-analitica-12/
Che ne pensate?

Carola

[Sk_Anonymous]

Una possibile soluzione alternativa può essere la seguente ( vedi anche fig. allegata).
Sia t la generica retta per P ( secante la circonferenza data in A e B) di equazione :
$mx-y+m+1=0$
La distanza CH dalla retta t del centro C della circonferenza data si può calcolare in due modi diversi.
1°) Dalla figura e dai dati del problema tramite il teorema di Pitagora:
$CH=sqrt{CA^2-HA^2}=sqrt{2-6/5}=2/{sqrt5}$

2°) Con la classica formula della distanza di un punto da una retta dati. Nel nostro caso si ha :
$CH=|-m-3+m+1|/{sqrt{m^2+1}}= 2/{sqrt{m^2+1}} $
Eguagliando i due risultati si ha l'equazione in m:
$2/{sqrt{m^2+1}} =2/{sqrt5}$
da cui, elevando al quadrato ambo i membri, si ricava facilmente che :
$m=+- 2$
Pertanto le rette per P che risolvono il problema sono :
$y-1=+-2(x+1)$

[raffaele19651]

Grazie Ciromario.

Sei davvero un genio!!!

Carola.