Omeomorfismo Nastro di Moebius
Salve, sto provando a risolvere questo esercizio e vorrei qualche indicazione:
Sia $M=[-1/2,1/2]\times[-1/2,1/2]//\eta$ con $(x,x')\eta\ (y,y')\iff ((x=x',y=y')vv(\{x,x'\}=\{1/2,-1/2\}^^y'=-y))$
Sia $X=RR\times [-1/2,1/2]$ Consideriamo l'azione di gruppo $ZZ\times X\to X$ data da $n*(x,y):=(n+x,(-1)^ny)$.
E' evidente che $X$ sia un $ZZ-spazio$, infatti $\forall n\in \mathbb{Z}$ la mappa $(x,y)\mapsto (n+x,(-1)^ny)$ è continua.
Consideriamo il quoziente $X//ZZ$ Allora vorrei che $X//ZZ \cong M$
Abbiamo $p:X\to X//ZZ$ data da $p(x,y)=[(x,y)]$
Poi osservo che se restringo l'equivalenza indotta dall'azione a $[-1/2,1/2]^2$ ottengo proprio $\eta$
Perciò posso fare un diagramma
$p:X\text{ }\to\text{ }\text{ } X//ZZ$
$\text{ } i\uparrow\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\uparrow g$
$q:[-1/2,1/2]^2\to M$
$p$ e $q$ sono le proiezioni, $i$ è l'inclusione, $g$ è la mappa (biettiva) data da $g([(x,y)])=[(x,y)]$
Per la proprietà universale $g$ è continua perché $g\circ q=p\circ i$ è continua.
Se riuscissi a provare che $g$ è aperta avrei finito. La mia idea è quella di sfruttare il fatto che che $p$ è aperta in quanto $X$ è $ZZ-spazio$
Sia $M=[-1/2,1/2]\times[-1/2,1/2]//\eta$ con $(x,x')\eta\ (y,y')\iff ((x=x',y=y')vv(\{x,x'\}=\{1/2,-1/2\}^^y'=-y))$
Sia $X=RR\times [-1/2,1/2]$ Consideriamo l'azione di gruppo $ZZ\times X\to X$ data da $n*(x,y):=(n+x,(-1)^ny)$.
E' evidente che $X$ sia un $ZZ-spazio$, infatti $\forall n\in \mathbb{Z}$ la mappa $(x,y)\mapsto (n+x,(-1)^ny)$ è continua.
Consideriamo il quoziente $X//ZZ$ Allora vorrei che $X//ZZ \cong M$
Abbiamo $p:X\to X//ZZ$ data da $p(x,y)=[(x,y)]$
Poi osservo che se restringo l'equivalenza indotta dall'azione a $[-1/2,1/2]^2$ ottengo proprio $\eta$
Perciò posso fare un diagramma
$p:X\text{ }\to\text{ }\text{ } X//ZZ$
$\text{ } i\uparrow\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\uparrow g$
$q:[-1/2,1/2]^2\to M$
$p$ e $q$ sono le proiezioni, $i$ è l'inclusione, $g$ è la mappa (biettiva) data da $g([(x,y)])=[(x,y)]$
Per la proprietà universale $g$ è continua perché $g\circ q=p\circ i$ è continua.
Se riuscissi a provare che $g$ è aperta avrei finito. La mia idea è quella di sfruttare il fatto che che $p$ è aperta in quanto $X$ è $ZZ-spazio$
Risposte
Lemma molto utile in queste situazioni:
[tex]\xymatrix{ M \ar[dr]^g \ar[d]^f \\ N \ar@{.>}[r]^{h} & R }[/tex]
se $f$ è suriettiva e $g$ è chiusa (aperta) allora $h$ è chiusa (aperta).
per dimostrarlo è meglio ricordare che se $f$ è suriettiva $f(f^{-1}(A))=A$
allora se $A$ è un aperto (chiuso) di $N$ $h(A)=h(f(f^{-1}(A))=g(f^{-1}(A))$ che è aperto (chiuso) in quanto $f$ è continua e $g$ aperta (chiusa).
ti può servire?
[tex]\xymatrix{ M \ar[dr]^g \ar[d]^f \\ N \ar@{.>}[r]^{h} & R }[/tex]
se $f$ è suriettiva e $g$ è chiusa (aperta) allora $h$ è chiusa (aperta).
per dimostrarlo è meglio ricordare che se $f$ è suriettiva $f(f^{-1}(A))=A$
allora se $A$ è un aperto (chiuso) di $N$ $h(A)=h(f(f^{-1}(A))=g(f^{-1}(A))$ che è aperto (chiuso) in quanto $f$ è continua e $g$ aperta (chiusa).
ti può servire?
Ciao, intanto grazie per essere intervenuto.
Conoscevo questo lemma. Mi avrebbe permesso di finire quasi subito nel caso in cui $p$ fosse stata chiusa (Se il gruppo che agisce fosse stato finito, ma non è così).
Pero' in questo caso (volendo sfruttare l'apertura) non mi sembra sia di immediata applicazione, anzi credo che $g\circ q$ non sia proprio aperta.
Conoscevo questo lemma. Mi avrebbe permesso di finire quasi subito nel caso in cui $p$ fosse stata chiusa (Se il gruppo che agisce fosse stato finito, ma non è così).
Pero' in questo caso (volendo sfruttare l'apertura) non mi sembra sia di immediata applicazione, anzi credo che $g\circ q$ non sia proprio aperta.
Salve 
,
un'altra idea potrebbe essere questa
Se $X,Y,Z$ sono spazi topologici e $ f:X\to Y, g:X\to Z $ sono delle identificazioni (funzioni continue e suriettive per cui la topologia del codominio è quella indotta dalla funzione), allora la biiezione $ h:Z\to Y $ tale che $ h\circ g =f $ è un omeomorfismo.
Ciò di cui parlo è una conseguenza del fatto che se $f:X\to Y$ è identificazione e $g:Y\to Z$ è tale che $gcirc f:X\to Z$ è continua, allora anche $g$ è continua: il ragionamento prima si applica ad $h$ poi ad $h^{-1}$ e essendo la funzione biiettiva $h$ continua con inversa continua, $h$ è un omeomorfismo.
Può essere utile in questo caso?
,un'altra idea potrebbe essere questa
Se $X,Y,Z$ sono spazi topologici e $ f:X\to Y, g:X\to Z $ sono delle identificazioni (funzioni continue e suriettive per cui la topologia del codominio è quella indotta dalla funzione), allora la biiezione $ h:Z\to Y $ tale che $ h\circ g =f $ è un omeomorfismo.
Ciò di cui parlo è una conseguenza del fatto che se $f:X\to Y$ è identificazione e $g:Y\to Z$ è tale che $gcirc f:X\to Z$ è continua, allora anche $g$ è continua: il ragionamento prima si applica ad $h$ poi ad $h^{-1}$ e essendo la funzione biiettiva $h$ continua con inversa continua, $h$ è un omeomorfismo.
Può essere utile in questo caso?
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