Permutazione come prodotto di trasposizioni

[jigen45]

Salve a tutti ragazzi. Non sono molto sicuro circa un esercizio che mi chiedeva di decomporre una permutazione come prodotto di trasposizioni. Data la permutazione

\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 7 & 8 & 6 & 1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix} \)

L'ho calcolata come prodotto di cicli disgiunti

$ sigma = (1 5)(2738)(46) $

E il prodotto delle traposizioni dovrebbe essere:

\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 7 & 3 & 4 & 5 & 6 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 4 & 7 & 8\end{pmatrix} \)

Potete vedere se è giusto? Grazie in anticipo

[ciampax]

Ma non dovresti trasformare anche il ciclo $(2738)$ in trasposizioni? Non vorrei sbagliare, ma se ricordo bene per trasposizione si intende un ciclo di lunghezza 2, cioè una cosa fatta così $(a\ b)$, no? Per cui dovresti cercare di scomporre quel ciclo di lunghezza 4. Comunque quello centrale dovrebbe essere riscritto come
$$\left(\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 1 & 7 & 8 & 4 & 5 & 6 & 3 & 2
\end{array}\right)$$
per essere corretto.

[jigen45]

Ciao ciampax, grazie della risposta. Sì, giusto, è stato un errore di distrazione, ho riscritto 3 invece di scrivere 8 . Come potrei scomporre quel ciclo in trasposizioni in maniera corretta?..

[ciampax]

Bé, mi pare che una possibile decomposizione sia questa $(2\ 7)(7\ 3)(3\ 8)$, non ti pare?

[vict85]

Una alternativa è \((28)(23)(27)\).

[ciampax]

Ecco, vict, mi hai fatto venire in mente una cosa: ma sai se c'è un algoritmo per determinarle "tutte"? Io ricordo qualcosa di fumoso dai tempi del corso di algebra, ma sinceramente non sono riuscito a trovare nulla.

[vict85]

Non ne sono al corrente. Non sono neanche sicuro siano in numero finito. L'insieme delle trasposizioni non sono un insieme di generatori minimale.

[jigen45]

Grazie a tutti ragazzi, siete stati di grande aiuto!

[jigen45]

P.S. A questo punto il prodotto delle traposizioni dovrebbe essere:

\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\5 & 2 & 3 & 4 & 1 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 7 & 3 & 4 & 5 & 6 & 2 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 2 & 7 & 4 & 5 & 6 & 3 & 8\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 2 & 8 & 4 & 5 & 6 & 7 & 3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\1 & 2 & 3 & 6 & 5 & 4 & 7 & 8\end{pmatrix} \)

giusto?..

[vict85]

Nessuno dopo le prime due lezioni sulle permutazioni usa la notazione funzionale per rappresentare le permutazioni. Il fatto è che la notazione ciclica è più compatta. Inoltre fornisce informazioni in più rispetto alla scrittura funzionale. Comunque mi sembra corretto.

[jigen45]

Ciao vict, quindi quando la traccia mi dice "Determinare una decomposizione di $ sigma $ come prodotto di trasposizioni", nel caso in questione posso scrivere tranquillamente

$ sigma = (15)(27)(73)(38)(46) $

[vict85]

È esattamente cosa ti viene richiesto.

[jigen45]

Perfetto, grazie mille!!

[jigen45]

Inoltre mi chiede di calcolare $ sigma^126 $. Io ho pensato che fosse uguale a $ sigma^(126)(1) $ e quindi poiché nel caso in questione per ogni grado $ g $ pari $ sigma^(g)(1)=1 $ allora $ sigma^126=1 $ O sbaglio?...

[vict85]

"jigen45":Inoltre mi chiede di calcolare $ sigma^126 $. Io ho pensato che fosse uguale a $ sigma^(126)(1) $ e quindi poiché nel caso in questione per ogni grado $ g $ pari $ sigma^(g)(1)=1 $ allora $ sigma^126=1 $ O sbaglio?...

Sbagli. Devi calcolati la permutazione che è il prodotto (composizione) di 126 volte $sigma$.

Si usa la decomposizione in cicli disgiunti. Se $sigma = tau xi$ e $tau xi = xi tau$ allora $sigma^m = tau^m xi^m$. Devi quindi sapere come calcolare la potenza di un ciclo.

Faccio qualche esempio.

$(12345)^(72) = (12345)^2 = (13524)$
$(123456)^(72) = (123456)^0 = e$
$(123456)^(2) = (135)(246)$

[jigen45]

Ciao vict85, buon anno. $ tau $ e $ xi $ sono dei cicli, giusto? Gli esempi purtroppo non mi sono molto chiari. Ho provato anche a cercare su internet riguardo le potenze dei cicli, ma non ho trovato nulla