Spazi vettoriali
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano per risolvere questo esercizio
Si diano con precisione le definizioni degli spazi vettoriali: $ R^4 $ e $ M_2,2 (R) $
In ciscuno di questi 2 casi si diano esempi di
a) un insieme di generatori non linearmente indipendenti
b) un insieme di due o piu vettori che siano linearmente indipendenti e non generino lo spazio
io ho provato a svolgerlo cosi
A) $ R^4 $ ----> v1 (1,0,0,0) ; v2 (0,1,0,0) ; v3 (0,0,1,0); v4 (0,0,0,1) ; v5 (1,4,5,1)
$ M_2,2 (R) $ ----> v1= $ ( (1,0) , (0,0) ) $ v2= $( (0,1) , (0,0) ) $ ; v3= $ ( (0,0) , (1,0) ) $ ; v4= $ ( (0,0) , (0,1) ) $ ; v5= $ ( (1,2) , (2,3) ) $
B) ecco, qua sono in difficolta', non so proprio come fare (devo trovare dei vettori che non si possano scrivere come combinazione lineare e che siano linearmente indipendenti?)
Si diano con precisione le definizioni degli spazi vettoriali: $ R^4 $ e $ M_2,2 (R) $
In ciscuno di questi 2 casi si diano esempi di
a) un insieme di generatori non linearmente indipendenti
b) un insieme di due o piu vettori che siano linearmente indipendenti e non generino lo spazio
io ho provato a svolgerlo cosi
A) $ R^4 $ ----> v1 (1,0,0,0) ; v2 (0,1,0,0) ; v3 (0,0,1,0); v4 (0,0,0,1) ; v5 (1,4,5,1)
$ M_2,2 (R) $ ----> v1= $ ( (1,0) , (0,0) ) $ v2= $( (0,1) , (0,0) ) $ ; v3= $ ( (0,0) , (1,0) ) $ ; v4= $ ( (0,0) , (0,1) ) $ ; v5= $ ( (1,2) , (2,3) ) $
B) ecco, qua sono in difficolta', non so proprio come fare (devo trovare dei vettori che non si possano scrivere come combinazione lineare e che siano linearmente indipendenti?)
Risposte
@6x6Casadei,
sono fuori sede e non vorrei aver letto frettolosamente, comunque ci sei col ragionamento.. certamente $$\Bbb{R}^4= \mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$$ e certamente se hai un sistema di generatori del tipo $$\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,4,5,1)), \; \text{con }$$$$ (0,0,0,0) \neq(1,4,5,1) \in \mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$$ certamente $$\Bbb{R}^4=\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))=$$$$=\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,4,5,1)) $$ per il secondo punto ancora più semplice, ovvero considera \(\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))\) che certamente genera \(\Bbb{R}^4\) ma se ne scarti uno, ad esempio \((0,0,0,1)\), allora $$\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))\neq \Bbb{R}^4$$ ma i generatori rimangono pur sempre linearmente indipendenti su \( \Bbb{R}\).. ebenso si ragiona con/su \(\mathscr{M}^{(2,2)}_\Bbb{R}\)
Ciao!
sono fuori sede e non vorrei aver letto frettolosamente, comunque ci sei col ragionamento.. certamente $$\Bbb{R}^4= \mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$$ e certamente se hai un sistema di generatori del tipo $$\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,4,5,1)), \; \text{con }$$$$ (0,0,0,0) \neq(1,4,5,1) \in \mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$$ certamente $$\Bbb{R}^4=\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))=$$$$=\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(1,4,5,1)) $$ per il secondo punto ancora più semplice, ovvero considera \(\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))\) che certamente genera \(\Bbb{R}^4\) ma se ne scarti uno, ad esempio \((0,0,0,1)\), allora $$\mathscr{L}((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))\neq \Bbb{R}^4$$ ma i generatori rimangono pur sempre linearmente indipendenti su \( \Bbb{R}\).. ebenso si ragiona con/su \(\mathscr{M}^{(2,2)}_\Bbb{R}\)
Ciao!
Grazie mille per l'aiuto!!! 
Bastava solo cavare un generatore!
Bastava solo cavare un generatore!
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