Calcolo di un gruppo fondamentale?
Ciao a tutti 
Avrei bisogno di aiuto con un esercizio di topologia algebrica: in pratica si tratta di calcolare il gruppo fondamentale del grafo degli spigoli di un tetraedro e successivamente calcolare il gruppo fondamentale dello stesso grafo a cui viene aggiunta una faccia del tetraedro (spero di non essermi spiegato troppo male
). Dunque per la prima parte dell'esercizio non ho problemi perchè il primo spazio topologico è omotopo al bouquet di tre circonferenze dunque il suo gruppo fondamentale è isomorfo al gruppo libero generato da tre elementi. Per il secondo spazio topologico ho dei problemi perché non so come trattare la "faccia piena": pensavo di usare Seifert-Van Kampen, ma non so quali aperti connessi per archi considerare per andare poi a sfruttare il teorema. Qualcuno ha qualche idea?
Grazie mille a tutti
Avrei bisogno di aiuto con un esercizio di topologia algebrica: in pratica si tratta di calcolare il gruppo fondamentale del grafo degli spigoli di un tetraedro e successivamente calcolare il gruppo fondamentale dello stesso grafo a cui viene aggiunta una faccia del tetraedro (spero di non essermi spiegato troppo male
). Dunque per la prima parte dell'esercizio non ho problemi perchè il primo spazio topologico è omotopo al bouquet di tre circonferenze dunque il suo gruppo fondamentale è isomorfo al gruppo libero generato da tre elementi. Per il secondo spazio topologico ho dei problemi perché non so come trattare la "faccia piena": pensavo di usare Seifert-Van Kampen, ma non so quali aperti connessi per archi considerare per andare poi a sfruttare il teorema. Qualcuno ha qualche idea?Grazie mille a tutti
Risposte
Più che grafo, parlarei di \(\displaystyle1\)-scheletro del tetraedro.
Una domanda: la topologia è quella indotta da \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) (con la topologia usuale)?
Una domanda: la topologia è quella indotta da \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) (con la topologia usuale)?
L'esercizio non lo specifica, ma penso proprio sia quella indotta dalla topologia euclidea in $RR^3$ . Diciamo che l'ho considerato come grafo perché mi sembrava più intuitivo, e anche perché in questo corso di topologia non abbiamo definito un $1$-scheletro 
Vabbé: non versare lacrime greche per una terminologia che non conosci! 
Ca***ta della serata(?): consideri l'interno della faccia e gli spigoli con una parte dell'interno della faccia, ce la dovresti fare...
Ca***ta della serata(?): consideri l'interno della faccia e gli spigoli con una parte dell'interno della faccia, ce la dovresti fare...
In effetti così verrebbe abbastanza facile perché l'interno della faccia ha gruppo banale, mentre l'altro aperto è omotopicamente equivalente al bouquet di tre circonferenze. Domanda: visto che l'intersezione è omeomorfa ad una corona circolare aperta, posso dire che ha come retratto per deformazione la circonferenza $S^1$ o è un'idiozia?
"lukath":No, assolutamente non è un'idiozia!
...Domanda: visto che l'intersezione è omeomorfa ad una corona circolare aperta, posso dire che ha come retratto per deformazione la circonferenza $S^1$ o è un'idiozia?
Perfetto, grazie mille per l'aiuto
Prego, di nulla!
buongiorno, avrei bisogno dell'ultimo passaggio di questo esercizio. In generale non mi è chiaro come trovare le nuove relazioni che si trovano a partire dall'intersezione applicando il teorema. Mi è chiaro come trovare le presentazioni degli insiemi e dell'interesezione, ma non riesco a concludere. Vi ringrazio.
A presto.
A presto.
Se \(\displaystyle X\) è il secondo spazio topologico, non hai idea di come presentare \(\displaystyle\pi_1(X)\)?
No, ammettiamo che $ X $ e $Y$ siano i due spazi e che io abbia calcolato $ pi_1(X)= $, $ pi_1(Y)= $, $ pi_1(X nn Y)= $. Per il teorema di Van Kampen so che $ pi_1(X uu Y)= $. Ho problemi a trovare proprio $\bar S $. Grazie e a presto.
...mi sto ingarbugliando da solo!
Alla fine dei conti viene \(\displaystyle\pi_1(X\cup Y)=F(2)\), il gruppo libero di rango \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle\pi_1(X)=F(3)\), \(\displaystyle \pi_1(Y)=0 \) e \(\displaystyle\pi_1(X\cap Y)=F(1)=\mathbb{Z}\).
Sbaglio?
Alla fine dei conti viene \(\displaystyle\pi_1(X\cup Y)=F(2)\), il gruppo libero di rango \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle\pi_1(X)=F(3)\), \(\displaystyle \pi_1(Y)=0 \) e \(\displaystyle\pi_1(X\cap Y)=F(1)=\mathbb{Z}\).
Sbaglio?
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