Scrivere equazioni cartesiane e parametriche di uno span
Salve, vorrei proporvi un esercizio che non so fare:
"dato il sottospazio vettoriale: [size=150]U= Span (e1 -e2 -9e3 +2e4; 2e1 +e2 -27e3 +e4; +e2 -3e3 -e4)[/size] incluso in [size=150]R^4[/size] scrivi equazioni parametriche e cartesiane di U"
grazie per le future risposte!
"dato il sottospazio vettoriale: [size=150]U= Span (e1 -e2 -9e3 +2e4; 2e1 +e2 -27e3 +e4; +e2 -3e3 -e4)[/size] incluso in [size=150]R^4[/size] scrivi equazioni parametriche e cartesiane di U"
grazie per le future risposte!
Risposte
La matrice che ha per righe i vettori che compongono lo Span ha caratteristica 2 e quindi solo 2 dei 3 vettori dati
sono linearmente indipendenti. Per es. i primi due. Ciò detto, costruiamo la matrice 3x4 che ha come prime 2 righe i vettori scelti come anzidetto e come terza riga il vettore $(x,y,z,t)$:
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\2&1&-27&1\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riducendo M a scalini risulta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\0&3&-9&-3\\0&0&36x+9y+3z&-3x+3y+3t\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero le componenti non nulle dell'ultima riga si hanno le equazioni cartesiane richieste:
\(\displaystyle \begin{cases}12x+3y+z=0\\x-y-t=0\end{cases} \)
Per ottenere poi le equazioni parametriche basta porre $x=u,y=v$ e poi dal sistema ricavare z e t in funzione di u e v.
sono linearmente indipendenti. Per es. i primi due. Ciò detto, costruiamo la matrice 3x4 che ha come prime 2 righe i vettori scelti come anzidetto e come terza riga il vettore $(x,y,z,t)$:
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\2&1&-27&1\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riducendo M a scalini risulta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\0&3&-9&-3\\0&0&36x+9y+3z&-3x+3y+3t\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero le componenti non nulle dell'ultima riga si hanno le equazioni cartesiane richieste:
\(\displaystyle \begin{cases}12x+3y+z=0\\x-y-t=0\end{cases} \)
Per ottenere poi le equazioni parametriche basta porre $x=u,y=v$ e poi dal sistema ricavare z e t in funzione di u e v.
"renatino":
La matrice che ha per righe i vettori che compongono lo Span ha caratteristica 2 e quindi solo 2 dei 3 vettori dati
sono linearmente indipendenti. Per es. i primi due. Ciò detto, costruiamo la matrice 3x4 che ha come prime 2 righe i vettori scelti come anzidetto e come terza riga il vettore $(x,y,z,t)$:
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\2&1&-27&1\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riducendo M a scalini risulta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}1&-1&-9&2\\0&3&-9&-3\\0&0&36x+9y+3z&-3x+3y+3t\end{pmatrix} \)
Eguagliando a zero le componenti non nulle dell'ultima riga si hanno le equazioni cartesiane richieste:
\(\displaystyle \begin{cases}12x+3y+z=0\\x-y-t=0\end{cases} \)
Per ottenere poi le equazioni parametriche basta porre $x=u,y=v$ e poi dal sistema ricavare z e t in funzione di u e v.
grazie mille! utilissimo e soddisfacente
un ultima cortesia, se possibile: potresti farmi vedere i passaggi della riduzione a scala? grazie ancora
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