Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Come si risolve un esercizio del genere?
Determinare, se possibile, un'applicazione lineare $F$ : $R^3 -> R^3$ tale che $ImF = Span {e1+e2-2e3, e2}$ ed e2 sia un autovettore di F.
Dove e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di $R^3$ ovvero e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
Grazie!
Ciao, non riuscivo a capire il senso di questo esercizio
sia A una matrice quadrata avente sulla diagonale dei numeri a1, a2...., am e negli altri posti tutti 0 (matrice diagonale) dimostrare che il determinante di A è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale.
Non riesco a capire come fare, la cosa è ovvia, le altre moltiplicazioni si annullano e rimane solo quella
Salve a tutti, sono alle prese con questo esercizio :
quanto vale la distanza della retta :
\(\displaystyle z-y=2 ;
x-z=0 \)
dal piano \(\displaystyle x-y-4=0 \)
Io ho iniziato con prendere l'equazione della retta e portarla in forma parametrica ottenendo :
\(\displaystyle x=t ;
y =t-2 ;
z=t \)
quindi ho che la retta passa per il punto \(\displaystyle (0 , -2, 0 ) \) ed è parallela al vettore \(\displaystyle (1,1,1)
\)
Ora però quando vado a fare la distanza punto piano mi viene ...
Salve a tutti,
questo è il mio primo messaggio sul forum quindi perdonatemi se sbaglio a scrivere le formule in LaTex.
Questo esercizio mi risulta difficile nella seconda parte, di seguito lo svolgimento fino ad ora.
Si determiniil vettore proiezione del vettore $ v=2i+j+2k $ sul piano contenente i punti :
$ A=(1,2,1) $
$ B=(1,0,1) $
$ C=(2,0,0) $
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Ho pensato di trovare l'equazione del piano per tre punti calcolando il ...
Buonasera, ho dei problemi nel completamento di questo esercizio. Ho fatto la prima parte ma poi mi sono perso! Datemi una mano perfavore!!!
Data la matrice
$ [ ( 1 , 2 , 0 ),( 2 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 ) ] $
se ne determinino il polinomio minimo, la forma canonica ed una base di $ R^3 $ rispetto alla quale lla suddetta forma canonica è ottenuta.
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Per il calcolo del polinomio minimo ho fatto così:
$ (A-It)=[ ( 1-t , 2 , 0 ),( 2 , 1-t , 0 ),( 0 , 0 , -1-t ) ] $
Dopo aver posizionato ...
Salve a tutti, mi sono bloccata su un esercizio e non so come procedere. Il testo mi chiede di determinare la circonferenza dello spazio passante per i punti A=(2, 1, 0) B=(2, -1, -2) C=(1, 1, 1) e successivamente trovarne centro e raggio.
Sapendo che la circonferenza nello spazio è l'intersezione di una sfera con un piano, mi sono calcolata il piano passante per i tre punti (x-y+z-1=0). Come procedo adesso? Come trovo la sfera?
Ciao a tutti ho il seguente esercizio:
Trovare una base del sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $(3, 1, 2, 4),(1, −2, −5, 7),(2, 3, 7, −3),(1, 5, 12, −10)$
e completarla ad una base di $RR^4$
Il mio procedimento è questo :
prima metto i vettori in colonna in una matrice ed eseguo il metodo di Gauss per vedere quali fra loro sono lineramente indipendenti( e che quindi sono una base e generano il sottospazio di $RR^4$)
$((3,1,2,1),(1,-2,3,5),(2,-5,7,12),(4,7,-3,-10))$
dopodichè prendo i vettori che stanno nelle colonne con i ...
Ciao ragazzi, avevo un dubbio per il calcolo di nucleo e immagine
data l applicazione lineare $ RR^3-> RR^3 $ definita da $ f (e1)=e1+e2+e3 $ $ f (e2) = 2e1+2e2+2e3 $ $ f (e3) =e1+ e2+ e3 $ trovare nucleo e immagine. Mi era sorro questo dubbio: la matrice associata sarebbe $ ( (1,1,1) , (2,2,2) , (1,1,1) ) $ ??
Forse come esercizio sarà stupido, ma non riesco a venirne a capo
Sia X uno spazio topologico. S $ sube $ X e i: S -> X l'inclusione.
Supponiamo che S sia dotato di una topologia che soddisfa la seguente prop:
Per ogni spazio Y e ogni applicazione f: Y->S
f è continua se e solo se if: Y-> X è continua
dimostrare che la topologia di S è la topologia indotta dalla top. di X
Sarà la stanchezza ma non ci riesco a proprio a far vedere che gli aperti di S che soddisfano la condizione, ...
Ciao, secondo voi le $1$-forme sulla sfera sono tutte esatte?
Secondo wikipedia $ H_{dR}^1(S\^2)=0\Leftrightarrow$ semplicemente connesso $\Leftrightarrow$ tutte le $1$-forme sono esatte.
Qualcuno ha qualche idea in merito?
Se la prima parte fosse vera potrei dimostrare che questa 2-forma $\omega=xdydz-ydzdy+zdxdy$ su $S\^2$ non è esatta perchè non esistono $1$-forme non esatte $\Rightarrow \forall \eta \in \Lambda\^1(S\^2),\ d\eta=0$.
($\Lambda\^1(S\^2)$ è l'insieme delle $1$-forme)
Ciao ragazzi, mi sono bloccato su questo tipo di esercizio:
Dare vari esempi di matrici quadrate di ordine 2 tali che:
- $ A^2=-I $
- $ B^2=0 $ ma nessuno dei coefficienti di B è nullo
- $ AB=CA $ con $ B != C $ (la matriche nulla non vale)
Sto provando a ragionare sulle varie proprietà delle matrice inverse e trasposte ma non ne vengo a capo. Tra l'altro non ho capito benissimo neanche la richiesta dell'esercizio.
Confido in voi
Ciao. Devo verificare che queste applicazioni lineari siano o meno un isomorfismo:
1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0), L(0,0,1)=(2,1,6)
Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la suriettività.
Nel caso 2) posso ...
mi viene il dubbio che sul testo di questo esercizio ci sia un errore.
Si consideri il piano (pigreco) e la retta (r) di equazioni:
$x+y-2=0$
e
${ ( x+2y+z=2 ),( x-y-3z=1 ):}$
devo trovare una equazione della retta (s) simmetrica alla retta r rispetto al piano.
allora a prima vista mi sorge un dubbio.
quel piano siamo sicuri sia un piano? a me sembra più una retta.
secondo me chi ha scritto il testo ha commesso un errore nel scrivere quel 2, secondo me doveva essere una Z.
o sbaglio?
ad ogni ...
Ciao ragazzi, studiando la teoria riguardante le matrici mi sono imbattuto in un simbolo che è praticamente il simbolo maggiore: > con due linee sotto, che non sta a significare maggiore uguale. Cosa vuol dire e come si legge? Ho cercato sul net ma non ho trovato nulla a riguardo
Salve ragazzi,
sto avendo delle difficoltà nel seguente esercizio e vi sarei molto grato se mi deste qualche indizio
Assegnato l'endomorfismo:
\(\displaystyle f:(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \rightarrow (x-z,2z,x+3z) \in \mathbb{R}^{3} \)
e il sottospazio \(\displaystyle W_{h}= \mathcal{L}[(-1,1,1),(-5,0,h)] \) con $h \in \mathbb{R}$
a) Determinare i valori di $h$ tali che $W_{h}= Im f$
b) Determinare i valori di $h$ tali che $Ker f \subseteq W_{h}$
c) Dire se ...
Ciao a tutti , ho la seguente matrice:
$((x,1,1),(1,x,1),(1,1,x))$
ci devo calcolare il rango usando il teorema dell'orlato, quindi ho scelto come matrice $1x1$ di partenza l'elemento in posizione ($1,3$)(l'uno in alto a destra). Vedendo quindi che esiste almeno una matrice(minore) $1x1$ non nullo il rango sara almeno $1$. Ora mi devo trovare tutti i minori $2x2$ che orlano il minore $1x1$, solo che mi è poco chiaro come estrarre ...
Buongiorno.
Ho un esercizio che mi chiede di verificare se l'insieme A definito da (x,y,z) appartenenti a R^3 t.c. x-y+z=0 e x-2y=0 è un SSV di R^3 e devo trovarne la base.
Ora nel primo caso devo verificare le 3 condizioni, però i passaggi algebrici mi confondono sempre.
Mi dite se fatto così è giusto?
E' facile vedere che il vettore nullo appartiene all'insieme, basta prendere x,y,z=0.
Poi esplicito i due parametri nelle equazioni e le sostituisco nel vettore generico dell'insieme A, che ...
Ciao a tutti, sto incontrando alcune "difficoltà" nello svolgere questo tipo di esercizi
Stabilire al variare del parametro reale a quante sono le soluzioni del seguente sistema lineare
${(ax+y=1),(x+y=a),(x+2ay=0):}$
Allora io procedo innanzitutto considerando la matrice dei coefficienti $((a,1),(1,1),(1,2a))$
estraggo un minore per calcolare il determinante $((a,1),(1,1))$ e vedo che questo è uguale ad a-1
è giusto il mio ragionamento? Come continuo ora?
Scusate l'ignoranza, ma è la prima volta che ...
salve, sapreste aiutarmi un pò con questo esercizio?
"dati U={x appartenente a R^3 | x1 + 8x3 = 0} e V=Span (e1+e2 -9e3; e1 -3e2 +e3) appartenente a R^3, scrivi base di U intersecato V."
grazie in anticipo!
Ciao a tutti
Avrei bisogno di aiuto con un esercizio di topologia algebrica: in pratica si tratta di calcolare il gruppo fondamentale del grafo degli spigoli di un tetraedro e successivamente calcolare il gruppo fondamentale dello stesso grafo a cui viene aggiunta una faccia del tetraedro (spero di non essermi spiegato troppo male ). Dunque per la prima parte dell'esercizio non ho problemi perchè il primo spazio topologico è omotopo al bouquet di tre circonferenze dunque il suo gruppo ...
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