Traformazioni nel piano

[dario989]

Buongiorno a tutti.
Ho un problema concettuale riguardo un passaggio nella dimostrazione che il cambio di coordinate rispetto a due sistemi di riferimento cartesiani $R={O,e_1,e_2}$ ed $R'={O',e_1',e_2'}$ ovviamente nel piano.
Siano \(P=\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\) e \( P'=\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}\) le coordinate del vettore P rispetto alle due basi.
Il professore nelle sue dispense scrive:
"...Vogliamo esprimere ora la relazione tra le coordinate di P rispetto ad R e le coordinate di P rispetto ad R'. Supponiamo che O' abbia coordinate \begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix} e sia $M$ la matrice di passaggio da $(e_1,e_2)$ nella base $(e_1',e_2')$. Allora si dimostra che:
\[\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=M^T\begin{pmatrix}
x-x_0\\
y-y_0
\end{pmatrix}.\]..." Non riesco a capire perchè la matrice M dovrebbe essere traposta...

[dario989]

Scusatemi, non è una sorta di up , ma provo a specificare meglio il mio problema esponendo il ragionamento:
Se volessi esprimere le coordinate del punto \(\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\) nel nuovo sistema di riferimento $R'$. Allora è ragionevole supporre che trasformando le coordinate attraverso la matrice del cambiamento di base(che è ortogonale essendo entrambe le basi ortogonali) e traslando l'insieme dei punti nella nuova origine \(O'=\begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix}\) quello che ottengo è questo:
\[\begin{pmatrix}
x'\\ y'\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}
x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_0\\ y_0\end{pmatrix}\]
Poichè la matrice $M$ è la matrice che passa dalla base \(\left \{ \hat{i},\hat{j} \right \}\rightarrow \left \{ \hat{i'},\hat{j'} \right \}\), dovrebbe quindi trasformare ortogonarlmente le coordinate di \( \begin{pmatrix}
x\\ y\end{pmatrix}\) nella nuova base e poi traslare.
Deve esserci un intoppo nel mio ragionamento e se qualcuno potrebbe darmi un aiuto sarebbe bene accetto.
Grazie