Dimostrazione spazio vettoriale ha numero infinito di vettori
Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi nel dimostrare la seguente teoria: ogni spazio vettoriale su R non nullo contiene un numero infinito di vettori.
Ho guardato sui libri e su internet e non riesco a trovare nessuna dimostrazione o comunque niente di analogo per porter dimostrarla.
Grazie mille per l'aiuto!
Qualcuno può aiutarmi nel dimostrare la seguente teoria: ogni spazio vettoriale su R non nullo contiene un numero infinito di vettori.
Ho guardato sui libri e su internet e non riesco a trovare nessuna dimostrazione o comunque niente di analogo per porter dimostrarla.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
In realtà è piuttosto semplice.
Supponi di avere un numero finito di vettori. Allora per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) esistono \(\displaystyle n\neq m\in \mathbb{N}\setminus\{ 0\} \) tali che \(\displaystyle n\mathbf{v} = m\mathbf{w} \). Ovvero tali che \(\displaystyle (n-m)\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Perciò, per ogni \(\displaystyle r\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle r\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}(m-n)\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0} \). In particolare risulta \(\displaystyle \mathbf{v} = 1\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Siccome vale per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), risulta che \(\displaystyle V \cong \{ \mathbf{0} \} \).
Supponi di avere un numero finito di vettori. Allora per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) esistono \(\displaystyle n\neq m\in \mathbb{N}\setminus\{ 0\} \) tali che \(\displaystyle n\mathbf{v} = m\mathbf{w} \). Ovvero tali che \(\displaystyle (n-m)\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Perciò, per ogni \(\displaystyle r\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle r\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}(m-n)\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0} \). In particolare risulta \(\displaystyle \mathbf{v} = 1\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Siccome vale per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), risulta che \(\displaystyle V \cong \{ \mathbf{0} \} \).
"vict85":
In realtà è piuttosto semplice.
Supponi di avere un numero finito di vettori. Allora per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) esistono \(\displaystyle n\neq m\in \mathbb{N}\setminus\{ 0\} \) tali che \(\displaystyle n\mathbf{v} = m\mathbf{w} \). Ovvero tali che \(\displaystyle (n-m)\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Perciò, per ogni \(\displaystyle r\in\mathbb{R} \), \(\displaystyle r\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}(m-n)\mathbf{v} = r(m-n)^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0} \). In particolare risulta \(\displaystyle \mathbf{v} = 1\mathbf{v} = \mathbf{0} \). Siccome vale per ogni \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \), risulta che \(\displaystyle V \cong \{ \mathbf{0} \} \).
Grazie per la risposta,
ma quindi alla fine la dimostrazione si dimostra per assurdo?
A rigore ci sono due errori nella tua conclusione:
1) Quella dimostrazione non è per assurdo. Io ho dimostrato che ogni spazio vettoriale reale con un numero finito di elementi è banale. Pertanto, escludendo gli spazi vettoriali reali banali, ogni altro spazio vettoriale reale non può che avere cardinalità infinita.
2) Non c'è alcuna ragione per pensare che quello sia l'unico modo per dimostralo. Quindi un modo per dimostrarlo è quello, non saprei dire se è l'unico. Non sei più alle superiori, perciò parti dal presupposto che ogni cosa ha più modi per essere fatta, nessuna delle quali necessariamente più giusta dell'altra.
1) Quella dimostrazione non è per assurdo. Io ho dimostrato che ogni spazio vettoriale reale con un numero finito di elementi è banale. Pertanto, escludendo gli spazi vettoriali reali banali, ogni altro spazio vettoriale reale non può che avere cardinalità infinita.
2) Non c'è alcuna ragione per pensare che quello sia l'unico modo per dimostralo. Quindi un modo per dimostrarlo è quello, non saprei dire se è l'unico. Non sei più alle superiori, perciò parti dal presupposto che ogni cosa ha più modi per essere fatta, nessuna delle quali necessariamente più giusta dell'altra.
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