Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio.
Dimostrare che se A (matrice 4×4 a coefficienti in k) è tale che A^4=0 allora A+I è invertibile.
Io sono riuscito a dimostrare che A ha solo autovalore 0 con molteplicità algebrica 4 ma non riesco a concludere riguardo all'invertibilità di A+I.
Buongiorno a tutti,
come da titolo ho un blocco su questo esercizio:
Data \(\displaystyle f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \) l'applicazione lineare definita da \(\displaystyle f(x, y, z, t) = (x+y-t, y+2t, z-t) \)
a) determinare la matrice che rappresenta \(\displaystyle f \) rispetto alle basi canoniche
b) determinare una base di \(\displaystyle \operatorname{Ker}f \) e di \(\displaystyle \operatorname{Im}f \)
c) determinare una base del sottospazio \(\displaystyle f(V) \) di \(\displaystyle ...
Ciao a tutti! Mi sono bloccato su questo esercizio di topologia:
In $RR^2$ sia $X$ il sottospazio definito da $X={(x,y)inRR^2|x>=0} - {(0,0)}$ e sia $R$ la relazione di equivalenza su $X$ che, per ogni $t in (0,+infty)$, identifica i punti $(0,t),(t,0),(0,-t)$ e sia $Y$ lo spazio quoziente rispetto a $R$. Devo dimostrare che $Y$ è omeomorfo al prodotto topologico di un bouquet di due circonferenze e di ...
Ciao a tutti
Come da titolo... Come posso calcolare l'immagine di un'applicazione lineare?
Tuttavia la mia necessità è di non utilizzare il teorema della dimensione, per non dover trovare prima il nucleo di f
Grazie
Buona sera a tutti ,
vi vorrei proporre il seguente esercizio sulle rette, il testo dice:
Nello spazio euclideo $E^3$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette r e s di equazioni:
$r : \{(x=-2t),(y=-1+7t),(z=t):} s: \{(x+y-az-1=0),((a+4)x+2y+4z=0):} $
con parametro a reale.
(i) Determinare la posizione reciproca di r e s al variare di a.
(ii) Per quali valori di a le rette date risultano ortogonali?
(i) Ora per quanto riguarda il primo punto devo esprimere la retta r in forma cartesiana quindi ...
Ciao, non so come svolgere questo esercizio
a)Siano $ v1, v2, v3 $ vettori in uno spazio vettoriale V su un campo k. Si trovi
(se possibile) un vettore $v ∈ span{v1, v2} $ tale che v non ∈ span{v1, v2, v3} . Si
motivi chiaramente la risposta: non e’ sufficiente citare un risultato, ma e’
necessario dimostrare a partire dalle definizioni.
Se provo mettendo qualche vettore numerico vedo subito che non è possibile trovare un vettore che non appartenga a $ v1, v2, v3 $ . Ma non essendo molto ...
Stabilire, al variare del parametro reale k, se il sistema:
$ [ ( k , 2 , 1-k ),( 2 , 4k , 0 ),( -1 , -2 , k-1 ) ] [ ( x ),( y ),( z ) ] =[ ( 1 ),( k ),( -1 ) ] $
ammette o no soluzioni.
Calcolare le soluzioni, se il sistema ne ammette, per $k = 0$, per $k = 1$ e
per $k = 2$.
1) studio del rango
Applico la regola di Sarrus in modo tale da trovare i valori di k che in questo caso sono 0 e 1
quindi se $ x!= 0 ^^ x!=1 $ il rango della matrice è 3... e qui ci sono
poi dice di calcolare le soluzioni che a questo punto saranno solo su 1 e 0.
DA ...
Ciao a tutti! Avrei un problema sul seguente esercizio e spero che possiate darmi una mano
Siano date le seguenti basi di $RR^3$
$B= {(1,0,1),(2,1,0),(3,1,0)}$ e $B'= {(1,1,0),(2,0,1),(0,0,1)}$
i) determinare i vettori di $RR^3$ che hanno le stesse coordinate rispetto a $B$ e $B'$
ii)determinare due basi di $RR^3$ rispetto alle quali la domanda precedente ammette come risposta il solo vettore nullo.
ecco, onestamente non ho ben chiaro come muovermi. La ...
ciao a tutti! Sto svolgendo degli esercizi su applicazioni lineari e matrici e avrei qualche dubbio al riguardo. In particolare vorrei capire qualcosa di più sulle matrici associate e sulle applicazioni invertibili, e in generale se sto procedendo in maniera corretta negli esercizi che penso di aver capito. In questo caso non so come svolgere la seconda richiesta del seguente esercizio:
per ogni numero reale θ sia $F_θ : \RR^2 -> \RR^2$ l'applicazione lineare rappresentata dalla ...
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio
Sia data la funzione q:
R x R ----> R
(x,y) ----> 1 + x^3 + y^4
Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta:
1) Vista come un'applicazione, la funzione è suriettiva?
2) Vista come operazione binaria, la funzione è commutativa?
3) Vista come operazione binaria, la funzione è associativa?
1) Non so come farlo. Il professore lo ha svolto così ma non ho capito molto bene, o meglio in questo caso più o meno si capisce, ...
ciao a tutti, ho qualche difficoltà con il seguente esercizio:
a) Studiare la triangolabilità e la diagonalizzabilità di $A_h$ al variare del parametro $h$
b) Studiare la triangolabilità e la diagonalizzabilità di $A_h^2$ al variare del parametro $h$
$A_h$ =$((-1,h,-h),(0,-1-h,0),(0, 1-h,1))$
Per quanto riguarda la diagonalizzabilità non ho molte difficoltà; ciò che non ho molto chiaro è il concetto di triangolabilità: quali sono le condizioni per ...
Ciao a tutti! avrei un problema che non so bene come interpretare, quindi avrei bisogno di qualche suggerimento. L'esercizio mi dice:
Considerato $\CC$ come spazio vettoriale su $\RR$ si studi l'iniettività e la suriettività di un'applicazione non nulla $f: \RR -> \CC$ lineare.
Stessa domanda con $g: \CC -> \RR$
ecco, ci sono un po' di cose che non capisco: non avendo nessuna applicazione definita, secondo voi devo essere io a definirla oppure devo fare una ...
Salve a tutti non riesco a risolvere il seguente esercizio di geometria, Assegnate le rette $ r:2x-y+2=0 $ e la retta $ s: x+2y +6=0 $ devo determinare le coordinate dei punti appartenenti alle rette $ s $ ed $ r $ vertici di un quadrato di area $ A=50 $
Io ho iniziato calcolando il punto di intersezione tra le rette ed ho $ A(-2;-2) $ poi so che la misura dei segmenti sarà $ (50)^(1/2) $ quindi ho cercato di calcolarmi le coordinate sapendo la ...
Ciao a tutti.
Studiando i sottospazi vettoriali, mi sono imbattuta in questo esercizio:
Ho l'insieme H={(t, $t^2, $t^3) : t $in$ R}, dove R è l'insieme dei numeri reali. Devo dire se H è un sottospazio vettoriale.
Ora, so la definizione di sottospazio vettoriale: lo 0 deve appartenere ancora all'insieme; H deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Ma in questo caso non saprei procedere.
Nella spiegazione dell' esercizio c'è scritto che ...
Salve a tutti, ho difficoltà nel risolvere un esercizio sui numeri complessi.
Ci sto provando da più di un giorno ma non riesco a trovare la soluzione. Probabilmente è semplice ma è da poco che ci sto lavorando.
Devo determinare i numeri complessi z tali che, elevati alla quarta, danno il complesso coniugato.
Qualcuno può aiutarmi?
Ciao ragazzi, sto cercando di capire come si svolgono questo tipo di esercizi:
Sia $ T : R^2 rarr R^2 $ una trasf. lineare. Se vale $ T [1 , 2]=[3, -1] $ e $ T [1, 0]=[5, 4] $ calcolare una matrice che rappresenti $ T $.
Se non ho capito male la teoria, una colonna della matrice che rappresenta $ T $ (la chiamo $ A_T $ ) già ce l'ho ed è $ [5, 4] $ . E fin qua tutto ok.
Per determinare la seconda colonna ho ragionato così:
$ T (1, 0)=T[(1, 2)-2(0 ,1)]=T(1, 2)-2T(0, 1) $ e allora ...
Dare un esempio di matrice quadrata $ A $ il cui spazio delle colonne sia $ C(A)=(1,2,3) $.
Sono arrivato ad una soluzione (credo) ma non sono sicurissimo di aver ragionato nel giusto modo. Per definizione, le colonne della matrice $ A $ generano lo spazio delle colonne di $ A $ , ovvero sono un sistema di generatori. Quindi un esempio di matrice potrebbe essere:
$ A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 4 , 6 ),( 3 , 6 , 9 ) ) $. Corretto?
E' un esercizio dell'esame che ho fatto qualche giorno fa. Sono ...
1 1 3 4
1 2 2 1 = A (una matrice 4x4 appartenente a Q )
0 0 -4 1
-1 1 -4 1
a) Ridurre a scala A;
b) Trovare il determinante di A quindi dire se è invertibile , in caso affermativo determinare l inversa;
c) Stabilire se la matrice A^3 è invertibile.
Grazie .
Vorrei un chiarimento su come applicare la formula.
Ovviamente ho questo sottospazio da cui devo trovare una base ortogonale: $ < ( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( -1 ) ) , ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 1 ) ) , ( ( 0 ),( -2 ),( 0 ),( -2 ) ) , ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) > $ .
Innesco G.-S. :
$ w_1=v_1=( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( -1 ) ) $ e fin qui ci siamo.
$ w_2=v_2-proj_(w_1) (v_2) $ , mi impiccio a calcolare la proiezione di $ w_1 $ su $ v_2 $ . Devo prendere le componenti di $ w_1 $ e $ v_2 $ e farne il prodotto scalare che è uguale a $ 0 $ . Fino a qua è tutto giusto?
Ciao, scusate se riposto una domanda simile a un altra mia domanda, ma mi sta venendo l esaurimento nervoso per svolgere questo esercizio. Non ho trovato nessun esempio ne sul libro ne su internet
Diagonalizzare questa matrice tramite trasformazione unitaria
$ ( (2,i) , (-i,2) ) $
Dato che T=T^t (trasposta coniugata) si può fare.
Una volta trovati gli autovalori s=3 v s=1 ho cercato gli autovalori v1_3 (i,1) v v2_1 (-i,1)
Questa matrice che ho trovato non è ortogonale, ma se uso gramsh ...
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