Diagonalizzabilità e triangolabilità

[luc@92]

ciao a tutti, ho qualche difficoltà con il seguente esercizio:

a) Studiare la triangolabilità e la diagonalizzabilità di $A_h$ al variare del parametro $h$
b) Studiare la triangolabilità e la diagonalizzabilità di $A_h^2$ al variare del parametro $h$

$A_h$ =$((-1,h,-h),(0,-1-h,0),(0, 1-h,1))$

Per quanto riguarda la diagonalizzabilità non ho molte difficoltà; ciò che non ho molto chiaro è il concetto di triangolabilità: quali sono le condizioni per cui una matrice è esprimibile in forma triangolare?
Per quanto riguarda il secondo punto non so se devo calcolare l' esponenziale della matrice di partenza per poi operare come nel primo punto oppure se esiste qualche accorgimento per ridurre i conti.

Grazie in anticipo per le risposte

[Steven11]

La condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia triangolarizzabile, come puoi leggere qui, è che il campo contenga tutte le radici del polinomio minimo (in altre parole, che il polinomio minimo ha tante soluzioni, contante con molteplicità, quanto il grado).

Quindi se lavori in $mathbb{C}$, ad esempio, ogni matrice è triangolarizzabile essendo il campo algebricamente chiuso, e quindi contentente tutte le radici di ogni polinomio. In questo caso la matrice ha come polinomio minimo $h-1$, a te la conclusione

[luc@92]

ok, grazie mille! quindi se lavoro in $RR$ è sufficiente che il parametro $h$ sia reale giusto?
mentre per svolgere il punto b sapresti darmi qualche indicazione?

[Steven11]

Scusami, prima ho sbagliato nel dirti che il polinomio minimo è $h-1$, quello è solo il determinante e non puoi dedurre nulla da esso.

Il parametro è reale se lavori nei reali. Quello che devi controllare è che le soluzioni del polinomio sono anche reali. Quindi prova a calcolare il polinomio caratteristico della matrice.